2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国,高中数学联合竞赛加试试题(A卷)

2023-11-07 · 1页 · 178.4 K

2023年全国中学生数学奥林匹克(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)一、(本题满分40分)如图,Ω是以AB为直径的固定的半圆弧,ω是经过点A及Ω上另一定点T的定圆,且ω的圆心位于△ABT内,设P是Ω的弧푇퐵̂(不含端点)上的动点,C、D是ω上的两动点,满足:C在线段AP上,C、D在直线AB的异侧,且CD⊥AB.记△CDP的外心为K.证明:(1)点K在△TDP的外接圆上;(2)K为定点.(答题时请将图画在答卷纸上)PTCABD二、(本题满分40分)正整数n称为“好数”,如果对任意不同于n的正整数m,均有2푛2푚{}≠{},这里{푥}表示x的小数部分.푛2푚2证明:存在无穷多个两两互素的合数均为好数.三、(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数k:若将1,2,…,k中的每个数任意染成红色或蓝色,则或者存在9个互不相同的红色的数푥1,푥2,⋯,푥9满足푥1+푥2+⋯+푥8<푥9,或者存在10个互不相同的蓝色的数푦1,푦2,⋯,푦10满足푦1+푦2+⋯+푦9<푦10.四、(本题满分50分)设푎=1+10−4.在2023×2023的方格表的每一个小方格中填入区间[1,푎]中的一个实数.设第i行的总和为푥푖,第i列的总和为푦푖,1≤푖≤2023.푦푦⋯푦求122023的最大值(答案用含a的式子表示).푥1푥2⋯푥2023

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