2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国,高中数学联合竞赛加试试题(A卷)

2023年全国中学生数学奥林匹克(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)一、(本题满分40分)如图，Ω是以AB为直径的固定的半圆弧，ω是经过点A及Ω上另一定点T的定圆，且ω的圆心位于△ABT内，设P是Ω的弧푇퐵̂(不含端点)上的动点，C、D是ω上的两动点，满足：C在线段AP上，C、D在直线AB的异侧，且CD⊥AB.记△CDP的外心为K.证明：(1)点K在△TDP的外接圆上；(2)K为定点.(答题时请将图画在答卷纸上)PTCABD二、(本题满分40分)正整数n称为“好数”，如果对任意不同于n的正整数m，均有2푛2푚{}≠{}，这里{푥}表示x的小数部分.푛2푚2证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.三、(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数k：若将1,2，…，k中的每个数任意染成红色或蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数푥1,푥2,⋯,푥9满足푥1+푥2+⋯+푥8<푥9，或者存在10个互不相同的蓝色的数푦1,푦2,⋯,푦10满足푦1+푦2+⋯+푦9<푦10.四、(本题满分50分)设푎=1+10−4.在2023×2023的方格表的每一个小方格中填入区间[1，푎]中的一个实数.设第i行的总和为푥푖，第i列的总和为푦푖，1≤푖≤2023.푦푦⋯푦求122023的最大值(答案用含a的式子表示).푥1푥2⋯푥2023