2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)

2023年全国中学生数学奥林匹克(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设复数푧=9+10푖((i为虚数单位)，若正整数n满足|푧푛|≤2023，则n的最大值为(((((((((((.2.若正实数a，b满足푎푙푔푏=2,푎푙푔푎∙푏푙푔푏=5.则(푎푏)푙푔푎푏的值为((((((((((((.푥푦3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为x、y、z，则事件“퐶7<퐶7<푧퐶7”发生的概率为(((((((((((.4.若平面上非零向量훼⃗，훽⃗，훾⃗满足훼⃗⊥훽⃗，훽⃗∙훾⃗=2|훼⃗|，훾⃗∙훼⃗=3|훽⃗|，则|훾⃗|的最小值为(((((((((((.5.方程sin푥=cos2푥的最小的20个正实数解之和为((((((((((((((((.6.设a，b，c为正数，a(푎2푏2b(>(0)内，且Ω与Γ有唯一的公共点(8,9).则Γ的焦距为(((((((((((((.8.八张标有A、B、C、D、E、F、G、H的正方形卡片构成下图，现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多有一张有公共边(例如可按D、A、B、E、C、F、G、H的次序取走卡片，但不可按D、B、A、E、C、F、G、H的次序取走卡片)，则的不同次序的取走这八张卡片的不同次序的数目为((((((((((((((.ABCDEFGH二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)(平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:푦2=4푥，F为Γ的焦点，A、B为Γ上的两个不重合的动点，使得线段AB的一个三等分点P位于线段OF上(含端点)，记Q为线段AB的另一个三等分点.求点Q的轨迹方程.10.（本题满分20分）已知三棱柱Ω：ABC-퐴1퐵1퐶1的9条棱长均相等，记底面ABC所在平面为훼(.若Ω的另外四个面(即面퐴1퐵1퐶1,퐴퐵퐵1퐴1,퐴퐶퐶1퐴1,퐵퐶퐶1퐵1()在훼上投影面积从小到大重排后依次为2√3，3√3，4√3，5√3.求Ω的体积.11.（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t：对任意푎,푏∈[−1,푡]，总存在푐,푑∈[−1,푡]，使得(푎+푐)(푏+푑)=1.