数学试题

重庆市育才中学高2023届高三（下）开学考试数学试题本试卷为第I卷（选择题）和第II试卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上.2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡收回.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P＝x0x4，Q＝，则PQ＝A．B．x3x4C．x0x3D．x0x334i2．若复数z满足z（i为虚数单位），则下列结论正确的有iA．z的虚部为3iB．z的共轭复数为z43iC．z5D．在复平面内z是第三象限的点3．函数f(x)2(x3x)ex的图象大致是A．B．C．D．4．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该饰品的表面积为（单位：cm2）A．1243B．1643C．1233D．1633n2225．在数列an中，已知对任意正整数n，有a1a2an21，则a1a2an等于2A．2n1B．(2n1)2试卷第1页，共4页1nC．4n1D．4136.“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是5479A.B.C.D.9916167．已知函数f(x)对任意xR都有f(x2)f(x)，且当x0,2时，f(x)log2(x1)，则f(2023)f(2023)=A．2B．1C．﹣1D．﹣28.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为7183A.910B.926C.26D.261212二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．将函数ycos(2x)的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)图象，则347A．ysin(2x)是函数f(x)的一个解析式B．直线x是函数f(x)图象的一条对称轴3125C．函数是周期为的奇函数D．函数f(x)的递减区间为[k，k](kZ)121210.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据x1,y1,x2,y2,,xi,yi则下列结论正确的是A．若求得的经验回归方程为，则变量y和x之间具有正的线性相关关系B．若这组样本数据分别是1,�1=,20,.16.�5−,04.,33,5,4.5，则其经验回归方程yˆbˆxaˆ必过点3,2.25C．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为E11.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为，则模型1的拟合效果更好2�=2.1222D．若用相关指数R来刻画回归效果，回归模型3的相关指数R30.41，回归模型4的相关指数R40.91，则模型4的拟合效果更好11．已知a0，b0，下列命题中正确的是a115A．若aba2b0，则a2b9B．若ab2，则bab22试卷第2页，共4页111C．若ab2，则lgalgb0D．若，则abab1466a1b23212．关于函数fxlnx，下列说法正确的是xA．x02是fx的极小值点；B．不存在正整数k，使得fxkx恒成立；C．函数yfxx有2个零点；D．对任意两个正实数x1，x2，且x1x2，若fx1fx2，则x1x24第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若非零向量a、b,满足ab，2abb,则a与b的夹角为__________．14．二项展开式55432，则＝__________．(2x1)a5xa4xa3xa2xa1xa05a54a43a32a2a1x2y215．双曲线C：1a0,b0的左、右焦点分别为F12,0、F22,0，M是C右支上的一点，a2b2MF1与y轴交于点P，MPF2的内切圆在边PF2上的切点为Q，若PQ2，则C的离心率为__________．16．已知侧棱长为3的正四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，当该棱锥体积最大时，底面ABCD的边长为__________，此时球O的表面积为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，222（1）求B；2????sin2�=3(�+�−�)（2）若△ABC为锐角三角形，且，求的最大值．�=3a+2�18．（12分）“新冠”是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.三年来，我国疫情防控，强调人民至上、生命至上.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.近期，在病毒致病性大幅度减弱的前提下，为了经济的发展，有序放开，尽快复产复工复学。为了普及“新冠”防治知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，某市团委在全市学生范围内，以“线上”的形式组织了一次“新冠”防治及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频数分布表.试卷第3页，共4页竞赛成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数61218341686（1）从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布N(64,225)，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取4名学生进行面对面座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.19．（12分）设Sn为正数数列an的前n项和，且．1+����=2（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列bn的前99项和．2�����=�sin3�9920．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=2，四边形ACFE为矩3形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．（1）求证：平面EFD⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值为．34x2y221．（12分）如图所示，已知P0，1在椭圆:10b2上，4b22圆C:x1y2r2r0，圆C在椭圆内部.（1）求r的取值范围；（2）过P0，1作圆C的两条切线分别交椭圆于A,B点（A,B不同于P），直线AB是否过定点？若AB过定点，求该定点坐标；若AB不过定点，请说明理由.322．（12分）已知fx2logaxex（a0且a1）（1）试讨论函数fx的单调性；（2）当a1时，若fx有三个零点x1,x2,x3.①求a的范围；②设，求证：333.x1x2x33x12x2x32e2试卷第4页，共4页