数学试卷（四）

曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（四）数学命题：董善清审题：王啟怀本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间：120分钟；满分：150分．第I卷（选择题，共60分）单选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合，则（    ）A． B．C． D．2．已知复数满足，若为纯虚数，则（    ）A． B．1 C． D．23．已知平行四边形中，点为的中点，，（），若，则（ ）A．1 B．2C． D．4．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为（    ）A． B． C． D．5．为了配合社区核酸检测，某医院共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与社区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往2个不同的社区，且2名女志愿者不单独成组.若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（    ）A．32 B．48 C．40 D．566．已知函数．若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）．A．2 B． C．5 D．87．已知，，，则（    ）A． B． C． D．8．已知三棱锥的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（    ）A． B． C． D．多选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为的正方体中，下列结论成立的是（    ）A．若点是平面的中心，则点到直线的距离为.B．二面角的正切值为.C．直线与平面所成的角为.D．若是平面的中心，点是平面的中心，则面.10．已知函数，则下列选项正确的有（    ）A．函数极小值为1B．函数在上单调递增C．当时，函数的最大值为D．当时，方程恰有3个不等实根11．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（    ）A．的准线方程为B．若，则C．若，则的中点到轴的距离为4D．12．已知定义R上的函数满足，又的图象关于点对称，且，则（    ）A．函数的周期为12 B．C．关于点对称 D．关于点对称第II卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中的常数项为__________．14．写出一个与直线和都相切的圆的方程______.（答案不唯一）15．，若在上存在单调递增区间，则的取值范围是_______16．已知椭圆，圆，直线与圆相切于第一象限的点A，与椭圆C交于两点，与轴正半轴交于点．若，则直线的方程是__________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列是各项均为正整数的等比数列，且成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，设数列的前项和为，求证：．18．在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，求周长的取值范围．19．已知在四棱锥P—ABCD中，，，E为CD中点.（Ⅰ）平面PCD与平面PAE能垂直吗？请说明理由.（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥的体积.20．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．年份代码x12345市场规模y3.984.565.045.866.36参考数据：，，，其中．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．（Ⅰ）由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；（Ⅱ）已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．21．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.（Ⅰ）求双曲线的标准方程.（Ⅱ）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.22．已知函数.（Ⅰ）试比较与1的大小；（Ⅱ）求证：.