广东省深圳市2023届高三第一次调研考试数学（参考答案）

2023年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准2023.2本试卷22小题，满分150分。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BDDACADB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ADBCBCDACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。113．−1014．311213115．(),（注：答案不唯一，还可能的答案有(),，(),等，函数零点x0.41868622）325282416．()()x−a2+y+a22=a2+a4，5四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）aa解：（1）当n=1时，a=+12，a=4；当n=2时，aa+=2+5，a=2．1211222所以aa12+=6．………………………………………………2分aa因为Sn=n+2+1①，所以Sn=n+1+(+1)2+1②．n2n+12aa②－①得，a=nn+1−+(n+1)22−n，整理得a+a=42n+，nN*．n+122nn+1所以(an+1+an+2)−(an+an+1)=[4(n+1)+2]−(4n+2)=4（常数），．………………4分所以aann++1是首项为6，公差为4的等差数列．………………………………………5分（2）由（1）知，ann−1+a=4(n−1)+2=4n−2，，n2．……………………6分n(6+−4n2)当n为偶数时，S=()()a+a+a+a+…+()aa+=2n1234nn−12=+nn2；………………………………………………………………7分2023年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准第1页共7页n−1(1042)+−n当n为奇数时，Saaaaa=+++++()()…++=+()4aa2n12345nn−12=+nn+22．………………………………………………………………9分nnn2+,当为偶数时，综上所述，Sn=2………………………………………………10分nnn++2,当为奇数时.18．（12分）解：（1）由已知得，bc+a=C+aC3sincos，………………………………………………1分由正弦定理可得，sinsin3sinsinsincosBCACAC+=+，…………………………………2分因为AB+C+=π，所以sinsin()sincoscossinBACACAC=+=+．代入上式，整理得cossinsin3sinsinACCAC+=，………………………………………………………………3分π1又因为C(0,π)，sin0C，所以3sincAAos−=1，即sin()A−=．…………5分62ππ5ππππ而−−A，所以A−=，A=．…………………………………………6分666663cc2（2）在△ACD中，由余弦定理得，CDb22b=A+−2cos．42cbc2而，CDa=，所以ab22=+−．①…………………………………………8分42在△ABC中，由余弦定理得，abcbc222=+−，②……………………………………10分3c由①②两式消去a，得32cbc2=，所以b=．2又bc−=1，解得b=3，c=2．……………………………………………………11分133所以的面积SbcA==sin．……………………………………………………12分2219．（12分）证明：（1）连接DB交AC于点O，连接PO．因为ABCD是菱形，所以BDAC⊥，且为BD的中点．…………………………1分因为PBPD=，所以POBD⊥．……………………………………………2分又因为ACPO,平面APC，且ACPOO=，所以BD⊥平面．…………………………………………………………3分又BD平面，所以，平面APC⊥平面．………………………………5分解：（2）取AB中点M，连接DM交于点H，连接PH．Pzπ因为=BAD，所以△ABD是等边三角形，3所以DM⊥AB．D又因为PDAB⊥，所以AB⊥平面PDM．A所以．CyBx2023年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准第2页共7页由（1）知BDPH⊥，且ABBDB=，所以PH⊥平面ABCD．…………………6分AM23由是边长为2的菱形，在△ABC中，AH==，AOA=B=cos303．cos303由APPC⊥，在△APC中，2343826PHAHHC2===，所以PH=．…………………………………7分3333（法一）以O为坐标原点，OB、OC分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，3326则A(0,3−,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，H(0,,0−)，P(0,,)−，333326所以AB=(1,3,0)，CB=−(1,3,0)，BP=−(1,−,)．…………………………8分33设平面PAB的法向量为n1111=(,x,y)z，326n1=BP0−−x11y+z=102所以33，令y1=1得n1=−(3−,1,)．…………9分2n1=AB0xy11+=30设平面PBC的法向量为n222=2(,x,y)z，326n2=BP0−x2−y2+z2=0所以33，令y2=1得n2=(3,1,2)．…………10分n2=CB0xy22−=30设平面PAB与平面PBC的夹角为．2|−33+11−2|||nn1223所以，cos=|cosnn12,|===．|nn12|||23(3)1(−2+2+−)2(3)1(2)2+2+223所以，平面与平面夹角的余弦值为．…………………………………………12分3（法二）因为PBPAPHAH==+=222，PCACPA=−=2222，所以，PBBCPC222+=，所以PBBC⊥．………………………………………………8分取PB中点N，过点作NQBC//且交PC于点Q，连接AN，AQ．因为△APB是等边三角形，所以ANPB⊥．P又因为，所以NQPB⊥，所以ANQ为二面角C−−PBA的平面角．……………10分在△中，ANAB==sin603．1D在△BPC中，NQBC==1．2A22H在△中，AQ=PA+PQ=6．MCAN2+−NQ2AQ23所以，cosANQ==−，B23ANNQ2023年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准第3页共7页3所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．…………………………………………12分320．（12分）21解:（1）每次摸到白球的概率p=，摸到黑球的概率为p=．……………………………2分13234每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率pC==pp1．…………………………………4分32129由题意，该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数X～B(9,)p3．所以，的数学期望EX()n9p4p===3．……………………………………………………6分（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．45由（1）知PA()=，PB()P1(A)=−=，99212PAPCAPAC()(|)()===．………………………………………………………9分33944又PC()==，45+9425由全概率公式PCPAPCAPBPCB()()(|)()(|)=+，得=+PC(|)B，9992解得PCB(|)0.4==．……………………………………………………11分5所以，根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．…………………12分21．（12分）解：（1）（法1）设A(x,y)11，B(x,y)22，Mx(,y)00．ykx=−3联立直线l与双曲线E的方程，得22，……………………………………………1分xy−=44消去y，得(1−4k22)x+24kx−40=0．51由△=−160640k2且140−k2，得k2且k2．24−24k−40由韦达定理，得xx+=，xx=．…………………………………………2分1214−k21214−k22xx12+−12k−−12k3所以x0==，y=kx−33=−=．21−4k2001−−4kk2214−12kx=014−k2由消去k，得xyy22=+412．…………………………………………4分−3000y=014−k21由且，得y−3或y．0031所以，点M的轨迹方程为x22=+4y12y，其中y−3或y．………………………6分3（法2）设，，．2023年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准第4页共7页（i）当k=0时，易得M(0,3)−．（ii）当k0时，x00，22xy11−=44yy12−由，两式相减，整理得x1212xy+y=+4()．………………………2分22xx−xy22−=4412yy−y+312==k0而x1x2+=x02，y1y2+=y02，，x12xx−0y+3xy=4022所以00，即x0y0y0=+412．………………………………………4分x01综上，点M的轨迹方程为xy22y=+412（除去0y的一段）．……………………6分31（2）（法1）双曲线E的渐近线方程为yx=．21yx=设Cx(,y)33，D(x,y)44，联立2ykx=−366得x=，同理可得x=，……………………………………………………7分321k−421k+xx+−12k因为34==x，214−k20所以，线段AB的中点也是线段CD的中点．所以，AB,为线段的两个三等分点||3||CDAB=．…………………………9分即22，||3||xxxx−=−．1||31||+−=+−kxxkxx34123412−24160k而||()4xxxxx−=+−x2=+()2，1212121414−−kk226612|xx−|=|−|=．342k−12k+1|4k2−1|12−24k1603所以，=+3()2，解得k=，|4k2−1|1−4k21−4k22所以，存在实数，使得A、B是线段的两个三等分点．…………………12分x2（法2）双曲线的渐近线方程为−=y20．设，，4y=−kx3联立直线l与双曲线E的渐近线方程，得22，xy−=40消去y，得(1−4k22)x+24kx−36=0．……………………………………………7分xx+−12k由韦达定理，得线段CD的中点横坐标为34==x．21−4k20所以，线段的中点也是线段的中点．所以，为线段的两个三等分点．…………………………9分2023年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准第5页共7页(24)436(14)k2+−k2(24)440(14)k2+−k2所以，1+kk22=+31|14|−−kk22|14|3解得k=，2所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．…………………12分22．（12分）x+4解：（1）当a=1时，fx()=，定义域为R．……………………………………1分exx+3fx()=−，令fx()0=，得x=−3．……………………………………2分ex当x−3时，fx()0；当x−3时，fx()0．所以，fx()的单调增区间为(−,−3)，单调减区间为(−3,+)．………………………3分ax(4)+（2）函数的不动点即为方程f(x)−=x0的根，即方程−=x0的根．exax(4)+xex显然，x=−4不是方程的根，所以−=−=xa00．e4xx+x(2)x+e2xxe记Fx()a=−（x−4），因为Fx()=20（当且仅当x=−2取等号），x+4(4)x+所以Fx()在(,4)−−和(4,)−+上均单调递增．……………………………