理科数学-2023年高三2月大联考（全国乙卷）（全解全析及评分标准）

2023年高三2月大联考（全国乙卷）理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112BABCDBCCADAB8i1510i1．B【解析】由z(2i)8i，得z32i，所以z32i．故选B．2i5x12．A【解析】由0，得(x1)(x3)0且x30，解得1x3，所以M{x|1x3}.x32由yx2，得y2，所以N{y|y2}，所以MN[2,3)．故选A．3．B【解析】根据全称命题的否定为特称命题，可知p为“x1，x(x1)0”，故选B．4．C【解析】A：a可能在平面内，所以A错误；B：a与m可能平行，从而与可能相交，所以B错误；C：a∥且b∥∥m∥，所以C正确；D：如图，考虑正方形沿对角线折叠，另一条对角线折起后形成的两条直线，以及折痕和一条半平面内与折痕平行的直线，它们符合垂直关系，但两个半平面不一定垂直，所以D错误．故选C．435．D【解析】因为(,)，所以2(,).又sin2，所以cos21sin22，所以4225532512sin2，解得sin（负值舍去）．故选D．55xcosxsinx6．B【解析】由函数的值域，可以排除A.由函数的奇偶性，可以排除D.C:f()x，令x2g(x)xcosxsinx，则g(x)xsinx．当x(0,)时，g(x)0恒成立，所以g()x在(0,)上单调递减．因为g(0)0，所以g(x)g(0)0在(0,)上恒成立，所以当x(0,)时，f(x)0恒成立，所以f()x在(0,)上单调递减，所以排除C．故选B．17．C【解析】（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有C2种不同的安排方法，后续项目分两类：122①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有CCC442种不同的安排方法；212②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有CCC432理科数学全解全析及评分标准第1页（共15页）种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自行车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿2112植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有CCCC2432种不同的安排方法，11222122112所以，一共有C2442(CCCC432CC)C2432CCC96种不同的安排方法．故选C．8．C【解析】f()x2sinx(cosxsinx)1sin2x2sin2x1sin2xcos2x2cos(2x)，所以f()x的4最大值为2，将x代入f(x)2cos(2x)，得（）f2cos(2)2，故A和D错误；84884将y2cos2x的图象向右平移个单位长度得到y2cos2(x)2cos(2x)2sin2x的图44255象，所以B错误；由2k2x2kkZ，得kxk()kZ，所以[，]是f()x488883的一个单调递减区间，所以f()x在(，)上单调递减．故选C．48x0,y0xy19．A【解析】由题意，知x，y满足约束条件，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部xy1xy352分所示（五边形OEBCD（包含边界）），作出直线2xy4，易得A(,)，B(2,1)，C(1,2)，D(0,1)，3315E(1,0)，连接DE，则非负数x，y对应的可行域的面积为SS1122，事△ODE正方形BCDE221121件“2xy4”对应的可行域的面积为SABBC2，所以所求概率为△ABC223312P3．故选A．515210．D【解析】由题图（2）得，圆形木板的直径为1025255．设截得的四边形木板为ABCD，A，ABc，BDaAD,,,bBCnCDm，如图．理科数学全解全析及评分标准第2页（共15页）34a55由cos得sin．在△ABD中，由正弦定理，得2，解得a45．55sin2在△ABD中，由余弦定理，得a2b2c22bccos，616∴b2c2bc80，配方，得(bc)2bc80(*)．55bc161∵bc()2，∴(*)式可化为()()bc2bcbc2，2551∴(bc)280，∴bc20，当且仅当bc10时等号成立．5同理，在△CBD中，得mn10，当且仅当mn5时等号成立，∴这块四边形木板周长的最大值为30．故选D．22211．A【解析】设|MF1|m，|MF2|n，椭圆C的半焦距为c，则mn2a，mn4c，所以a4cmnmn()()2mn2()ma2．因为acmac，所以a24c2(ma)2[0,c2]，即4c2a222121515c2，则e，所以e．故选A．545212．B【解析】（1）先比较a,b：∵a0.6e0.4e0.4(1lne0.4)，b2ln42(1ln2)，∴可以构造函数f(x)x(1lnx)，则af(e0.4)，bf(2)．对f()x求导，得f(x)lnx，当x(1,)时，f(x)0，∴f()x在(1，)上单调递减．∵1e0e0.4e0.52，∴f(e0.4)f(2)，即ab．（2）再比较b,c：∵bc4ln4e42ln2e．∴可以构造函数g(x)2xxlnxe，则g(x)1lnx，当x(0,e)时，g(x)0；当x(e,)时，g(x)0，∴g()x在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，∴g(x)maxg(e)0，理科数学全解全析及评分标准第3页（共15页）13b232即(a)2()2R23，即b9a，234所以三棱锥PABC的体积为11333Vabbab2(12aa3)(0a23).32212163令V(x)(12xx3)(0x23)，163333则V()x(4x2)(2x)(2x)．1616当0x2时，V(x)0；当2x23时，V(x)0，所以V()x在(0,2)上单调递增，在(2,23]上单调递减，所以V()x在x2处取得极大值，也是最大值，所以，当a2时，三棱锥PABC的体积V最大，且最大值为3．故填3．说明：第13题写成135也给分.222第14题写成22xy0，y22x0，xy0，yx0或xy也给分.444三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）【解析】（1）由题意知，11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.412.912.813.213.511.212.611.812.813.212.0（1分）250.0，（2分）250所以x12.5，（3分）201s2[(xx)2(xx)2(xx)2]（4分）201220理科数学全解全析及评分标准第5页（共15页）2012222122[x1x2x202x(x1x2x20)20x]xix（5分）2020i10.43．所以估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差分别为12.5,0.43.（6分）3（2）由表中数据得，样本中果实长度不小于12cm的频率为.（8分）43由于收获的果实数量巨大，所以X近似服从二项分布，即XB~(4,)，（10分）43333所以EXDX()43,()4(1).（11分）44443所以据此可以估计，X的数学期望与方差分别为3，．（12分）4说明：第一问：1.写出11.613.012.0给1分；2.得到“250”给1分；3.4分段：若最后结果正确，不写全公式不扣分，最后结果错误，正确写出公式给1分；4.5分段：若最后结果正确，不写全公式不扣分，最后结果错误，正确写出公式给1分.第二问：1.11分段，EXDX(),()都求正确，给1分，最后用文字叙述X的数学期望与方差都正确给1分；2.若EXDX(),()求解正确一个且用文字叙述X的数学期望或方差正确一个，给1分.18．（12分）*【解析】（1）因为对任意m，nN，anmanam，所以an1ana1，（1分）所以数列{}an是公差da1的等差数列，anna1．（2分）aq2a0q11设等比数列{}bn的公比为，因为b1a1，b2a20，b3a31，所以2．a1q3a11n1又因为b1a10，解得b1a11，q2，所以ann，bn2．（6分）n（2）因为c，n2n11234nT1234n所以T，n，（8分）n202122232n12212223242n11(1)T11111nnnn2两式相减，得n(1)22，234n1n1nn22222221222n2所以T4．（12分）n2n1理科数学全解全析及评分标准第6页（共15页）说明：第一问：1.1分段为考生写出“an1ana1”或“数列{}an是等差数列”；n12.6分段为ann，bn2写出一个给1分.第二问：nT1.写出c给1分，写出n正确给1分，相减正确给1分，求和正确给1分，化简正确给1分，n2n12结果正确给1分；11(1)nnn22.若结果正确，2和2都没有写，不扣分；1nn1222T3.若n展开没有写，结果正确，只给1分，中间过程分全部扣掉.219．（12分）【解析】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF．∵PAPD，∴PFAD．∵平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PF平面PAD，∴PF平面ABCD.（1分）又BD平面ABCD，∴PFBD．（2分）∵四边形ABCD为菱形，∴ACBD．∵点EF，分别为CD，AD的中点，∴EF∥AC，∴EFBD．（3分）∵PFBD，EFBD，PFEFF，PF，EF平面PEF，∴BD平面PEF．（4分）又PE平面PEF，∴BDPE．（5分）（2）记ACBDO，则OAOB．由（1）知，PF平面ABCD，则PFOA，PFOB．过点O作OQ∥PF，则OA，，OBOQ两两垂直．（6分）理科数学全解全析及评分标准第7页（共15页）如图，以OA，，OBOQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(4,0,0)，B(0,2,0)，C(4,0,0)，E(2,1,0)，P(2,1,2)，（7分）∴PA(2,1,2)，AE(6,1,0)，PB(2,3,2)，PC(6,1,2).设平面PAE的法向量为m(,,)x1y1z1，PAm02x1y12z10由，得，6xy0AEm011令x11，则y16，z12，所以m(1,6,2)是平面PAE的一个法向量．（9分）设平面PBC的法向量为n(,,)x2y2z2，PBn02x23y22z20由，得，6xy2z0PCn0222令x21，则y22，z24，所以n(1,2,4)是平面PBC的