2023年高三第一次模拟试卷数学试题第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x∈R∥log2x<2}，集合B=x∈R∥x−1<2，则A∩B=( )A.(0,3) B.(−1,3) C.(0,4) D.(−∞,3)2.已知复数满足z⋅z−=4且z+z−+|z|=0，则z2022的值为( )A.±1 B.−22022 C.±22022 D.220223.已知fx是定义在R上的偶函数，且在0,+∞为减函数，则( )A.flog132学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为x1−=2.7，x2−=3.1，x3−=3.3，每天读书时间的方差分别为s12=1，s22=2，s32=3，则下列正确的是( )A.从高一学生中抽取40人 B.抽取的高二学生的总阅读时间是1860小时 C.被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时 D.估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.96610.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，O为四边形DCC1D1对角线的交点，下列结论正确的是( )A.点O到侧棱的距离相等 B.正四棱柱外接球的体积为6π C.若D1E=14D1D，则A1E⊥平面AOD1 D.点B到平面AOD1的距离为2311.已知圆M：(x−2)2+y2=1，点P是直线l：x+y=0上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有( )A.圆M上恰有一个点到直线l的距离为22 B.切线长PA的最小值为1 C.四边形AMBP面积的最小值为1 D.直线AB恒过定点(32,−12)12.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=AD=2CD=32，AB⊥AD，E在线段BC上，且BE=2EC，现沿线段AE将△ABE折超，折成二面角B−AE−D，在此过程中( )A.AE⊥BD B.三棱锥B−AED体积的最大值为6 C.若G，F是线段AE上的两个点，GE=1，AF=32，则在线段AB上存在点H，当AH=1时，HF//BG D.AD⊥BD第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹角的余弦值为_________．14.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足y=f(x+1)是R上的偶函数，且f(1)=12，则f(1)+f(2)+⋯+f(2022)= ．15.f(x)=aex+lnx+b(a∈R,b∈R)的两个极值点x1，x2满足x1b>0)过点为A(−2,0)，B(0,1)． (1)求椭圆E的方程及其焦距； (2)过点P(−2,1)的直线与椭圆E交于不同的两点C，D，直线BC，BD分别与x轴交于点M，N，求|AM||AN|的值．22.(本小题12分) 已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个不相同的零点x1，x2，设f(x)的导函数为f'(x).证明：x1f'(x1)+x2f'(x2)>2lna+2． 答案和解析1.A 【解析】∵集合A={x∈R∥log2x<2}={x∥020=1， ∴0g(x)，另一侧满足f(x)0时，函数y递增；x<0时，函数y递减，可得x=0处函数y取得最小值0， 即f(x)≥g(x)，故不满足“单交函数对”的定义； 选项B，由f(x)=g(x)可得，x=−1或x=1，即f(x)=x3与g(x)=1x在(−∞,0)∪(0,+∞)上有两个交点， 故不满足“单交函数对”的定义； 选项C，函数f(x)=lnx与函数g(x)=sinx(x>0)的图象如图所示， 由图象可知，它们满足“单交函数对”的定义； 选项D，由二次函数和指数函数的图象及性质可知，函数f(x)与函数g(x)的图象有三个交点， 故不满足“单交函数对”的定义；故选：C． 6.D 【解析】函数 fx=4sinxx2+1 的定义域为 R ，∵ f−x=4sin−x−x2+1=−4sinxx2+1=−fx ，∴ 函数 fx 是奇函数，排除AC；当 x=π2 时， fπ2=4×1π22+1>0 ，此时图像在 x 轴的上方，排除B．故选：D7.D 【解析】等式sinβ−2cosα=1，2sinα+cosβ=2，两边同时平方相加得， sin2β+4cos2α+4sin2α+cos2β+4(sinαcosβ−cosαsinβ)=1+2=3， 即1+4+4sin(α−β)=3，得4sin(α−β)=−2，得sin(α−β)=−12，即sin(β−α)=12， ∵−π2<β−α<π2，∴β−α=π6， 得α=β−π6， 代入2sinα+cosβ=2，得2sin(β−π6)+cosβ=2， 即3sinβ=2，即sinβ=63， 则sin(α+π6)=63， ∵cos(α−π3)=sin(α−π3+π2)=sin(α+π6)=63，故选：D． 8.B 【解析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴长为2m， P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义PF1−PF2=2m， 由椭圆定义PF1+PF2=2a， 可得PF1=m+a，PF2=a−m， 又∠F1PF2=π3，由余弦定理得， PF12+PF22−PF1·PF2=4c2， 可得m+a2+a−m2−m+a·a−m=4c2， 得a2+3m2=4c2，即a2c2+3m2c2=4， 可得1e12+3e22=4，即1e12=4−3e22， 又e2∈[3,+∞)时，可得3⩽4−3e22<4， 即3⩽1e12<4，亦即14