2023届辽宁省教研联盟高三第一次调研测试（一模）数学答案

２０２３年辽宁省教研联盟高三第一次调研测试数学试题 参考答案一、选择题１．【答案】 Ｂ解：Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ≤２或ｘ＞０｝＝｛ｘ｜ｘ＞－１｝，选Ｂ．２．【答案】 Ｄ解：直于同一条直线的两个不同平面平行，选Ｄ．３．【答案】 Ａ解：画每个函数图像可知，ｙ＝ｘ－２是偶函数，且在区间（－∞，０）单调递增，选Ａ．４．【答案】 Ｃ解法１：设ＭＮ中点为Ｐ，则ＯＰ⊥ＭＮ，所以→→→→→→→→→→ＭＮ２ＭＯ·ＭＮ＝（ＭＰ＋ＰＯ）·ＭＮ＝ＭＰ·ＭＮ＋ＰＯ·ＭＮ＝＋０＝２，选Ｃ．２解法２：→→→→→→→→ＭＮ２ＭＯ·ＭＮ＝ＭＯＭＮｃｏｓ∠ＯＭＮ＝ＭＮ（ＭＯｃｏｓ∠ＯＭＮ）＝ＭＮ＝２，选Ｃ．２解法３：→设ＭＮ中点为Ｐ，以ＭＮ为ｘ轴正方向，线段ＭＮ的中垂线为ｙ轴建立平面直角坐标系ｘＰｙ，则→→→→ＭＮ＝（２，０），ＭＯ＝（１，ｍ），因此ＭＯ·ＭＮ＝２，选Ｃ．５．【答案】 Ｂ解：ｘ＝－１代入ｆ（ｘ）－ｘ＝２ｆ（２－ｘ）可得ｆ（－１）＋１＝２ｆ（３）①．ｘ＝３代入ｆ（ｘ）－ｘ＝２ｆ（２－ｘ）可得ｆ（３）－３＝２ｆ（－１）②．１联立①②可得ｆ（３）＝－，选Ｂ．３６．【答案】 Ｄ解：４ππ３π４π３π４π３π因为＝－（－），所以ｓｉｎ＝ｓｉｎ（－），ｃｏｓ＝ｃｏｓ（－），因此α的最小正值为５２１０５１０５１０３π１７π２π－＝，选Ｄ．１０１０数学试题 参考答案 第 １页（共１０页）书７．【答案】 Ａ解法１：２３１３２１１Ｐ＝××＋××＝，选Ａ．５４３５４３５解法２：３ 摸球三次结果的所有可能情形有Ａ５＝６０种，这三次符合题意摸球可以分为两类，第一类２１第一次第三次摸到红球，可能情形有Ａ２Ｃ３＝６种，第二次第三次摸到红球，可能情形有６＋６１Ａ２Ｃ１＝６种，于是摸球三次就停止摸球的概率为Ｐ＝＝，选Ａ．２３６０５８．【答案】 Ａ解：ππππ１设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ－πｘ，则当０＜ｘ＜时，ｆ′（ｘ）＝（ｃｏｓｘ＋－２）．２２２２ｃｏｓ２ｘ１２π２π因为ｃｏｓｘ＋２≥，所以ｆ′（ｘ）≥（－２）＞０，于是ｆ（ｘ）在（０，）单调递增，ｃｏｓｘ槡ｃｏｓｘ２槡ｃｏｓｘ２所以ｆ（１）＞ｆ（０）＝０，可得ａ＞ｂ．１（ｘ－１）２设ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ２＋－ｘ，则当ｘ＞０时，ｇ′（ｘ）＝－≤０，所以ｇ（π）＜ｇ（１）＝０，ｘｘ２可得ｂ＞ｃ． 综上，ａ＞ｂ＞ｃ，选Ａ．二、选择题９．【答案】 ＡＣＤ解：因为Ｘ～Ｎ（μ，σ２）且Ｐ（Ｘ≤２）＝０．５，所以μ＝２，故Ｅ（Ｘ）＝μ＝２，Ｄ（ｘ）＝σ２，选项Ａ正确，选项Ｂ错误．２因为Ｙ～Ｂ（３，ｐ），所以Ｅ（Ｙ）＝３ｐ，由３ｐ＝２可得ｐ＝，选项Ｃ正确．３２２Ｄ（３Ｙ）＝９Ｄ（Ｙ）＝９×３××（１－）＝６，选项Ｄ正确．３３ 综上，选ＡＣＤ．１０．【答案】 ＢＣ解：由ａ２＜－ａ１１＜ａ１可得｛ａｎ｝的公差ｄ＜０，且ａ２＋ａ１１＜０，ａ１＋ａ１１＞０，因此ａ６＞ａ７，且Ｓ１２＜０，Ｓ１１＞０，从而Ｓ１５＜０，Ｓ１０＞０，选项Ａ错误，选项Ｂ正确，选项Ｃ正确．ａ＋ａａ＋ａ由ａ＋ａ＞０可得ａ＞０，由ａ＋ａ＜０，因为ａ＜ａ，所以ａ＝２１２＝２１１＜０，１１１６２１１１２１１７２２因为｛ａｎ｝单调递减，所以Ｓｎ≤Ｓ６，Ｓ６≠Ｓ５，选项Ｄ错误． 综上，选ＢＣ．数学试题 参考答案 第 ２页（共１０页）１１．【答案】 ＢＣＤ解：设ｌ与ｘ轴交点为Ｒ，则未必是ＱＦ的中点，未必有｜ＰＦ｜＝｜ＰＱ｜，因此选项Ａ错误．ｙ２ｙ２设Ｍ０，ｙ，可知ｍ斜率ｋ存在，可设ｍ∶ｙ－ｙ＝ｋ（ｘ－０），(２ｐ０)０２ｐ２２２ｙｋｙｋｙ０ｐ将ｘ＝代入可得－ｙ＋ｙ０－＝０，由△＝０，可得ｋ＝，２ｐ２ｐ２ｐｙ０ｐｙ０因此ｍ∶ｙ＝ｘ＋．ｙ０２ｙｐｐ于是Ｎ０，０，因为Ｍ－，ｙ，Ｆ，０，所以Ｎ为ＭＦ中点，选项Ｂ正确．(２)１(２０)(２)１因为Ｍ１Ｍ＝ＭＦ，所以ＭＱ是Ｍ１Ｆ的垂直平分线，而Ｍ１Ｍ∥ｘ轴，所以四边形ＭＭ１ＱＦ是菱形，选项Ｃ正确．△ＭＭ１Ｐ≌△ＭＦＰ，由∠ＭＰＦ＝６０°，可得∠Ｍ１ＭＦ＝６０°，所以Ｍ１Ｑ＝ＭＦ＝Ｍ１Ｆ．因为∠Ｍ１ＭＲ＝６０°，所以Ｍ１Ｆ＝２｜ＲＦ｜＝２ｐ，选项Ｄ正确． 综上，选ＢＣＤ．ｐｙ０【关于ｍ∶ｙ＝ｘ＋导数得出：ｙ０２ｐｙ２对等式ｙ２＝２ｐｘ两边对ｘ求导数，可得２ｙｙ′＝２ｐ，从而ｙ′＝，设Ｍ０，ｙ，ｙ(２ｐ０)２ｐｙｐｙ０可得ｍ∶ｙ－ｙ＝ｘ－０，即ｙ＝ｘ＋．】０ｙ(２ｐ)ｙ２００【例子】对于函数ｆ（ｘ）＝ｘｘ，ｘ＞０，我们有ｌｎｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，两边对ｘ求导数可得ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋１．ｆ（ｘ）从而ｆ′（ｘ）＝ｘｘ（ｌｎｘ＋１）．……．１２．【答案】 ＢＤ解：因为ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ＋ｂ＞０，选项Ａ错误．９１９１９ｂａ９ｂａ３－＝＋（ａ＋（－ｂ））＝１０－＋≤１０－２·＝４，当且仅当ａ＝，ａｂ(ａ－ｂ)(ａｂ)槡ａｂ２１ｂ＝时，取等号，选项Ｂ正确．２数学试题 参考答案 第 ３页（共１０页）ａ２＋ｂ２ａ－ｂ２１１因为ａ≠－ｂ，所以＞＝，可得ａ２＋ｂ２＞，选项Ｃ错误．２(２)４２设ｆ（ｘ）＝２ｘ－２－ｘ，则Ｄ等价于２ａ－２－ａ＜２ｂ－２－ｂ，等价于ｆ（ａ）＜ｆ（ｂ）．因为ｆ（ａ）单调递增，ａ－ｂ＝１＞０，所以ａ＞ｂ，所以ｆ（ａ）＜ｆ（ｂ），选项Ｄ正确． 综上，选ＢＤ．三、填空题１３．【答案】 １解：２由题设ｚ＝±ｉ，故＝１ｉ，实部为１．ｚ－１１４．解法１：△ＡＢＣ的面积等于△ＡＤＢ面积与△ＡＤＣ面积之和，所以１２π１π１πＡＢ·ＡＣｓｉｎ＝·１·ＡＢｓｉｎ＋·１·ＡＣｓｉｎ．２３２６２２即槡３ＡＢ·ＡＣ＝ＡＢ＋２ＡＣ．于是１２＋＝３．ＡＣＡＢ槡解法２：直角△ＡＤＣ中，因为ＡＤ＝１，所以１＝ＡＤｔａｎＣ＝ｔａｎＣ．ＡＣ２ππ因为Ａ＝，所以Ｂ＝－Ｃ．在△ＡＢＣ中，由正弦定理可得３３ＡＢＡＣ＝，ｓｉｎＣπｓｉｎ－Ｃ(３)从而ＡＣｓｉｎＣｃｏｓＣＡＢ＝＝．ππｓｉｎ－Ｃｓｉｎ－Ｃ(３)(３)所以π２ｓｉｎ－Ｃ２(３)３ｃｏｓＣ－ｓｉｎＣ＝＝槡＝３－ｔａｎＣ．ＡＢｃｏｓＣｃｏｓＣ槡于是１２＋＝３．ＡＣＡＢ槡数学试题 参考答案 第 ４页（共１０页）１５．【答案】 １８π解：３ａ２ａ设正四面体ＡＢＣＤ的棱长为ａ，ＣＤ中点为Ｅ，则ＢＥ＝槡，ＯＥ＝槡．２２设△ＢＣＤ中心为Ｆ，由对称性可知球Ｏ截平面ＢＣＤ所得圆圆心Ｏ１在ＢＥ上，且Ｏ１为ＢＦ的３ＯＥ中点，所以ＢＥ＝１．２３ａ３３因为ＯＥ＝３，由槡＝槡可得ａ＝３．１槡２２３２于是球Ｏ的半径ＯＥ＝槡，球Ｏ的表面积为１８π．２１６．【答案】 槡３解法１：→１因为ＦＮ＝ｂ，所以ＦＮ垂直于渐近线，所以Ｃ的离心率ｅ＝．ｓｉｎ∠ＯＦＮ→→因为ＭＦ＋３ＦＮ＝０，所以，ＦＭ＝３ｂ．１过作另一条渐近线的垂线，垂足为Ｐ，则ＦＰ＝ｂ，在直角△ＭＦＰ中，ｃｏｓ∠ＭＦＰ＝．３１因为∠ＭＦＰ＝２∠ＯＦＮ，因为ｃｏｓ∠ＭＦＰ＝１－２ｓｉｎ２∠ＯＦＮ，所以ｓｉｎ∠ＯＦＮ＝．槡３因此Ｃ的离心率为槡３．解法２：→因为ＦＮ＝ｂ，所以ＦＮ垂直于渐近线，所以ＮＭ＝２ｂ，ＮＯ＝ａ．ＮＭ２ｂ在Ｒｔ△ＯＭＮ中，ｔａｎ（１８０°－２∠ＮＯＦ）＝＝＝２ｔａｎ∠ＮＯＦ，可得ｔａｎ∠ＮＯＦ＝２，ＮＯａ１１从而ｃｏｓ∠ＮＯＦ＝，Ｃ的离心率ｅ＝＝３．３ｃｏｓ∠ＮＯＦ槡四、解答题１７．解：１１１２π１（１）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ωｘ－ｃｏｓ２ωｘ－＝槡ｓｉｎ２ωｘ－－．ｂ＞ａ＞ｃ２２２２(４)２π因为ｆ（ｘ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以ｆ（ｘ）周期为π．２２π由＝π，可得ω＝１．２ω!!!!!!!!!!（５分）２π１（２）由（１）知，ｆ（ｘ）＝槡ｓｉｎ２ｘ－－．２(４)２数学试题 参考答案 第 ５页（共１０页）ππππ３π由２ｋπ－≤２ｘ－≤２ｋπ＋，可得ｋπ－≤ｘ≤ｋπ＋（ｋ∈Ｚ）．２４２８８３π７π因为０＜ｘ＜π，所以ｆ（ｘ）的单调递增区间为０，和，π．(８)(８)!!!!!!!!!!（１０分）１８．解：５．５５（１）由题意ｙ＝ａλ＋ｂ的线性相关系数的相关系数ｒ＝≈０．９６３．１５．７６６．３２ｙ＝ｃｘ＋ｄ的相关系数ｒ＝≈０．９５６．槡２６．６１所以１＞ｒ１＞ｒ２＞０，因此模型①拟合效果更好．!!!!!!!!!!（６分）（２）根据（１）的判断结果，计算ａ与ｂ５．５５由参考数据ａ＝≈２．５２，所以ｂ＝３．５５－２．５２×１．８０≈－１．０．２．２０于是ｙ关于ｘ的回归方程①为ｙ＝２．５ｌｎｘ－１．０．!!!!!!!!!!（１２分）１９．解：（１）因为ＰＤ⊥底面ＡＢＣＤ，所以ＰＤ⊥ＢＭ．在平面ＰＤＡ内过Ｄ做ＤＥ⊥ＰＭ，垂足为Ｅ，因为平面ＰＢＭ⊥平面ＰＤＡ，交线为ＰＭ，所以ＤＥ⊥ＢＭ平面ＰＢＭ，从而ＤＥ⊥ＢＭ．因为ＰＤ∩ＤＥ＝Ｄ，所以ＢＭ⊥平面ＰＤＡ，于是ＢＭ⊥ＡＤ；!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（６分!）→→（２）以Ｍ为坐标原点，ＭＡ为ｘ轴正方向，｜ＭＡ｜为单位长，建立如图所示的建立空间直角坐标系Ｍ－ｘｙｚ，则ｚ轴在平面ＰＤＡ内．因为底面ＡＢＣＤ是菱形，由（１）及题设可知ＭＢ＝槡３，可得Ｍ（０，０，０），Ｐ（－１，０，２），Ｂ（０，槡３，０），Ｃ（－２，槡３，０），于是→→→ＭＢ＝（０，槡３，０），ＰＢ＝（１，槡３，－２），ＢＣ＝（－２，０，０）．→ｍ·ＭＢ＝０，设ｍ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１）为平面ＭＰＢ的法向量，则→，即{ｍ·ＰＢ＝０，槡３ｙ１＝０，{可取ｍ＝（２，０，１）．ｘ１＋槡３ｙ１－２ｚ１＝０．→ｎ·ＢＣ＝０，－２ｘ２＝０，设ｎ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）为平面ＣＰＢ的法向量，则→，即{ｎ·ＰＢ＝０，{ｘ＋３ｙ－２ｚ＝０．２槡２２可取ｍ＝（０，２，槡３）．数学试题 参考答案 第 ６页（共１０页）因为ｍ·ｎ２７０ｓｉｎ＜ｍ，ｎ＞１－ｃｏｓ２＜ｍ，ｎ＞＝１－＝槡．槡槡(｜ｍ｜｜ｎ｜)３５７０所以二面角Ｍ－ＰＢ－Ｃ的正弦值为槡．３５!!!!!!!!!!（１２分）２０．解：（ｘ－１）３（ｘ＋１）（１）ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），ｆ′（ｘ）＝．ｘ２当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０，当ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）＞０．所以ｆ（ｘ）在（０，１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增．!!!!!!!!!!（４分）ｇ（ｘ２）－ｇ（ｘ１）（２）设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），１≤ｘ１＜ｘ２，则ｋ１＝ｇ′（ｘ１），ｋ２＝ｇ′（ｘ２），ｋ＝．ｘ２－ｘ１于是ｋ１＋ｋ２＞２ｋ等价于（ｘ２－ｘ１）［ｇ′（ｘ１）＋ｇ′（ｘ２）］－２［ｇ（ｘ２）－ｇ（ｘ１）］＞０．３因为ｇ′（ｘ）＝３ｘ２－，所以ｘｘ３ｘｘｘ（ｘ－ｘ）［ｇ′（ｘ）＋ｇ′（ｘ）］－２［ｇ（ｘ）－ｇ（ｘ）］＝ｘ３２－１－３２－１－２ｌｎ２．２１１２２１１(ｘ)(ｘｘｘ)１１２１ｘ３ｘｘｘｘ３ｘｘｘ因为ｘ≥１，所以ｘ３２－１－３２－１－２ｌｎ２≥２－１－３２－１－２ｌｎ２．１１(ｘ)(ｘｘｘ)(ｘ)(ｘｘｘ)１１２１１１２１ｘｘ３ｘｘｘ设２＝ｔ，ｔ＞１，则２－１－３２－１－２ｌｎ２＝ｆ（ｔ）．ｘ(ｘ)(ｘｘｘ)１１１２１由（１）可知，当ｔ＞１时，ｆ（ｔ）＞ｆ（１）＝０．于是ｋ１＋ｋ２＞２ｋ．!!!!!!!!!!（１２分）２１．解法１：２２（１）由题意ａ５＝ａ１ａ１７，所以（ａ１＋４ｄ）＝ａ１（ａ１＋１６ｄ）．ａ因为ｄ０，所以ｄ＝５，故数列｛ａ｝的公比ｑ＝５＝３，所以≠ｂｎａ１ａ＝ａ３ｎ－１＝１０·３ｎ－１．ｂｎｂ１又ａ＝ａ＋（ｂ－１）ｄ＝５（ｂ＋１）．ｂｎ１ｎｎ所以ｎ－１ｂｎ＝２·３－１．!!!!!!!!!!（６分）数学试题 参考答案 第 ７页（共１０页）５ｎ２＋１５ｎ（２）由（１）可知ａ＝５（ｎ＋１），Ｓ＝，设ｆ（ｎ）＝Ｓ－ｂ，则ｎｎ２ｎｎｆ（ｎ＋１）－ｆ（ｎ）＝５（ｎ＋２）－４·３ｎ－１．ｎ－１设ｃｎ＝５（ｎ＋２）－４·３，则ｎ－１ｃｎ＋１－ｃｎ＝５－８·３＜０．故｛ｃｎ｝单调递减，因为ｃ２＝８＞０，ｃ３＝－１１＜０，所以当ｎ≤２时，ｆ（ｎ＋１）＞ｆ（ｎ），当ｎ≥３时，ｆ（ｎ＋１）＜ｆ（ｎ）．于是ｆ（ｎ）的最大值为ｆ（３）＝２８．!!!!!!!!!!（１２分）解法２：（１）同解法１．５ｎ２＋１５ｎ（２）由（１）可知ａ＝５（ｎ＋１），Ｓ