数学答案

2023年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准数学 一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分在每小题给出的四个选项中,只有一项8540.是符合题目要求的).....1C 2B 3A 4C 5C.6AaccPFFPFPFac【详解】由,得sin∠21|1||1|得PF2,PFF=PFFa=PFF=PF=aPF|1|=acsin∠12sin∠21sin∠12|2|2-|1|+又PF[ac,ac]|1|∈-+a2c2ac(ac)2即e2e,∴-≤2≤++2-1≥0又e(,),e[,).∈01∴∈2-11故选:.A.7D【详解】选项:当点E固定在线段CD的某位置时,线段AE的长度为定值,AD′D′E,过A⊥D′作D′HAE于点H,故D′的轨迹是以H为圆心,D′H为半径的圆,故错;⊥A选项:无论E在CD(端点除外)的哪个位置,AB均不与AE垂直,故AB不与平面AD′EB垂直,故错;B选项:设A到平面BCF的距离为d,由已知BF,BC平面ABF,得d3×33,故C=23⊥==232错;C选项:以A→B,A→D,A→F为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系F(,,),B(,,),CD003300(,,).设E(λ,,),λ(,),B→C(,,),E→F(λ,,),设EF与BC所310310∈01=010=-3-13成的角为θ,则θ113,10.=()cosλ2∈3+101310故选:.D.8B【详解】x,ttx1(x)恒成立,≥2e+1e-(1-x)ln-1≥0tx(x)即tx(x)(x)ln-1·(x)恒成立.e≥-1ln-1=eln-1令f(x)xx(x),则f′(x)(x)ex恒成立,故f(x)单调递增,=e>1=+1>0所以tx(x)在x时恒成立,≥ln-1≥2e+1(x)tln-1(x)恒成立.∴≥x≥2e+1(x)令g(x)ln-1(x),=x≥2e+1年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 110x(x)x-ln-1x(x)(x)g′(x)-1--1ln-1. =x2=x2(x)-1令h(x)x(x)(x)(x),则h′(x)(x)=--1ln-1≥2e+1=-ln-1<0h(x)单调递减.h(x)h()()·()∴∴≤2e+1=2e+1-2e+1-1ln2e+1-1=1-2eln2=1-eln4<即g′(x),g(x)单调递减.0<0∴故g(x)g()ln2+1.≤2e+1=2e+1故选:.B二、多选题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,有多项是4520符合题目要求.全部选对的得分,部分选对的得分,有选错的得分)520..9BCD 10BC.11ACD【详解】分以下几种情况讨论:设定圆O的半径为R,当点A在圆O上,连接OA,则OAOP,所以点O在线段AP的中垂线上,①=由中垂线的性质可知AQPQ.=又因为点Q是线段AP的中垂线与OP的公共点,此时点Q与点O重合,此时,点Q的轨迹为圆心O;故正确;A当点A在圆O内,且点A不与圆心O重合,②连接AQ,由中垂线的性质可得QAQP,=所以,QAQOQAQPOPROA,+=+==>此时,点Q的轨迹是以点A,O为焦点,且长轴长为R的椭圆,故正确;C当点A在圆O外:连接AQ,由中垂线的性质可得QAQP,③=所以,QAQOQPQOOPROA,-=-==<此时,点Q的轨迹是以点A,O为焦点,且实轴长为R的双曲线.故正确.D故选:ACD..12ABD【详解】f′(x)x·(x)x·1x[(x)1],=eln1++ex=eln1++x1+1+g(x)f′(x)x[(x)1],则g′(x)x[(x)21],==eln1++x=eln1++x-(x)21+1+1+设h(x)(x)21,=ln1++x-(x)21+1+x2h′(x)122+1,=x-(x)2+(x)3=(x)3>01+1+1+1+则函数h(x)在(,)上单调递增,h(x)h(),因此g′(x)对任意的x-1+∞≥0=1>0>0∈(,)恒成立,所以g(x)在(,)上单调递增,故正确;0+∞0+∞A又h1,所以h1·h(),则存在α1,,使得h(α).(-)=-ln2+4-4<0(-)0<0∈(-0)=0222年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 210在x(,α)时,h(x);x(α,)时,h(x);∈-1<0∈+∞>0所以函数f′(x)在(,α)单调递减,在(α,)单调递增,故f′(x)有唯一极小值,故正确;-1+∞B令m(x)f(x)xx(x)x,x,m′(x)x[(x)1]f′(x),=-=eln+1--1<<0=eln1++x-1=-11+所以函数m′(x)在(,α)单调递减,在(α,)单调递增,且m′(),则有m′(α).-1+∞0=0<0-2-2-2又m′(-2)e-1(2)e-1·e,e-1=e-2+e-1>ee-1=e-1>0因此存在x(-2,α),使得m′(x),0∈e-10=0当xx时,m′(x),当xx时,m′(x),-1<<0>00<<0<0于是得函数m(x)在(,x)上单调递增,在(x,)上单调递减,则m(x)m().-10000>0=0-3又m(-3)e-1-3-1-3,e-1=-3e-e+1<-3e-e+1<0从而存在唯一t(-3,x),使得m(t).∈e-10=0显然当tx时,m(x),当xt时,m(x).<<0>0-1<<<0又m(1)111,令v(x)x1(x1),-=ln+=ln--x2e222(x)2v′(x)111-1,=x--x2=-x2≤0222因此函数v(x)在(,)上单调递减,v(1)v(),0+∞>1=02有11(1)3,113,则m(1)111132e-3,ln>-2=-ln>--=ln+>-=>02224e24e2e2224e4e即t1,从而函数m(x)f(x)x在x(,)上有唯一零点t(,1),<-<0=-∈-10∈-1-22函数yf(x)x在(,)上有且只有一个零点t,且t,1,故错误;=--10∈(-1-)C2xxxxx,x,f(xx)f(x)f(x)1+2(xx)1(x)2(x),1>02>01+2-1-2=eln1+1+2-eln1+1-eln1+2xxxx设φ(x)f(xx)f(x)f(x)+2(xx)(x)2(x),x,=+2--2=eln1++2-eln1+-eln1+2>0xxx则φ′(x)+2[(xx)1][(x)1]g(xx)g(x)=eln1++2+xx-eln1++x=+2-1++21+由选项知,g(x)在(,)上单调递增,而xxx,则g(xx)g(x),A0+∞+2>>0+2>即有φ′(x)g(xx)g(x),因此函数φ(x)在(,)上单调递增,=+2->00+∞φ(x)φ()f(x)f()f(x)f(),即有f(xx)f(x)f(x),1>0=2-0-2=-0=01+2>1+2所以对任意的x,x(,),总满足f(xx)f(x)f(x),故正确.12∈0+∞1+2>1+2D故选:ABD三、填空题(本大题小题,每小题分,共分)4520..138 1436.3+ln215(,0)2年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 310【详解】设直线l与曲线y(x)和y(x)相切于A(x,y),B(x,y)两点,=ln-2+2=ln-11122分别求导得:y′1,y′1,=x=x-2-1x故l:y[(x)]1(xx)y1x(x)1.-ln1-2+2=x-1⇒=x+ln1-2+2-x1-21-21-2x同理得:l:y(x)1(xx)y1x(x)2.-ln2-1=x-2⇒=x+ln2-1-x2-12-12-1ìï11,ïx=x故í1-22-1ïxxï(x)1(x)2,îln1-2+2-x=ln2-1-x1-22-1ìïx3,ï2=解得í2ïïx5.î1=2直线l的方程为yx.∴=2-3-ln2令y,则x3+ln2.=0=2则直线l与x轴的交点坐标为3+ln2,.(0)n2n.(n2n)·-1(分)(n2n)·(分)16+22 -+223【详解】因为nan(n)an,且a,+1=2+21=2≠0an(n)所以+12+2,an=n则当n时,≥2aaan23ana···…·1=aaan12-1(n)2×32×4…2×+1=2××××(n)-12n1n(n)·-1=+12n(n2n)·-1.=+2又当n时,a符合上式,=11=2n故a(n2n)·-1.n=+2由Snaa…an=1+2++n()0()1…n(n)·-1=××+××+++1222321n2 ①nS1…(n)n·-1n(n)·2n=1×2×2++-12++12 ②nn得Sn(n)··1·2…n·-1①-②-n=2-+12+42+62++22nnn(n)·(·1·2·3…n·).=-+12+12+22+32++2年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 410n令T·1·2·3…n·,n=12+22+32++2 ③nnT·2·3…(n)·n·+1,∴2n=12+22++-12+2④nnnn()n得T1n·+1(23…)n·+121-2(n)·+1,③-④-n=2-2+2+2++2=-2+=-+12-2-n12T(n)·+1.∴n=-12+2nn故Sn(n)·(n)·+1,-n=-+12+-12+2nn则S(n2n)·,即S(n2n)·.n=-+22-2n+2=-+22四、解答题(本大题共小题,共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)670.【详解】由SnSnan得SnSnan.17(1)+1=+4-3,+1-=4-3anan则anan.分∴+1=4-3,+1-1=4(-1)……………………………………………………(2)a∵1-1=2-1=1,数列a是以为首项为公比的等比数列∴{n-1}1,4,nna-12-2nN∗.分∴n-1=4=2(∈)…………………………………………………………(4)bnan∵=log2(-1)+3,n-bn22nnN∗.分∴=log22+3=2+1(∈)……………………………………………………(5)nbn++cn11(2)∵=(-1)·bnbn+1nnnc+12+2+1111分∴n=(-1)·nn=(-1)·(n+n)…………………………(6)(2+1)(2+3)22+12+3Tnccccn∴=1+2+3+…+énù1ê111111+111ú分=ëê(+)-(+)+(+)-…+(-1)(n+n)ûú………………(7)23557792+12+3当n为奇数时,T11112.分n=(+n)>>……………………………………………………………(8)232+3621当n为偶数时,T111n=(-n)232+3T是递增数列{n},TnT1112.∴≥2=(-)=23721综上得T2.分:n≥………………………………………………………………………(10)21.【详解】由题意可知APC°CBP°BAC°°°分18(1)∠=45,∠=60,∠=45-15=30………………(1)PCPCACBC.分=APC=1003m,=CBP=100m………………………………………(2)tan∠tan∠ACBC由正弦定理可得ABC3.分ABC=BAC,sin∠=…………………………………(3)sin∠sin∠2年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 510因此ABC°或°当ABC°时ACB°猎豹与羚羊之间的距离为AB∠=60120∠=60,∠=90,=AC2BC2分+=200m……………………………………………………………………(5)当ABC°ACB°BAC猎豹与羚羊之间的距离为ABBC分∠=120,∠=30=∠,==100m……(6)设捕猎成功所需的最短时间为t(2),在ABQ中BQtAQtABABQ°.△,=20,=25,=200,∠=120由余弦定理得t2t22t1.分:625=400+200-2×