陕西省榆林市2022-2023学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题

!)!(!!榆林市年度高三第二次模拟检测#!已知$%&!!''$%&!!'*#则$%&!!!'*#$##!#$#%(!(!+,!,!,-!./!数学试题!理科!+!+!!0!.1!!!考生注意#!+!+!!&本试卷分第卷!选择题和第#卷!非选择题两部分#共!'$分$考试时间!#$分钟$2!已知函数!#满足!('#*!!#.(#当3##!时#!#*#.,##若对任意的#&请将各题答案填写在答题卡上$#$!.4#$$#都有!#%.##则$的最大值是%&本试卷主要考试内容%高考全部内容$-!/!+(0!51!)'!!%!%)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第!!卷!!!!!!!!!!!!(3!已知函数!#*!&67!!#'在%.#$和%#$上都是单调的#则%的取值范围是55+(!一$选择题#本大题共!#小题%每小题'分%共($分!在每小题给出的四个选项中%只有一项是,!,+!,!+!-!%.#$/!%.#$符合题目要求的!!!!(!0!!设集合)!##*##$#$)!##$$#则%$&!$%)+!,+!+!0!%#$1!%#!$+!$$#,-%.!$##,-%(!!(!//!$$##%0!!((!已知三棱锥&.'()的所有顶点都在球*的表面上#&'()是边长为槡,的等边三角形#$%#$%##!已知复数%)!,1!*#1则复数%的实部与虚部之和是若三棱锥&.'()体积的最大值是,!槡,#则球*的表面积是.+!*(.!*/!0!(&-!(33!/!(53!$2!%!%!已知&)!2##')34%#()34%#则55#0!!33!1!,!3!-+!''&'(.!&'''(/!&'(''0!('&''(!!已知函数!#*!#!'#.+8##若函数+!#*!!#.%!%'3#则+!#的零点个数不!某企业为了解员工身体健康情况#采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取可能是,部分员工体检#已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是#且被抽到参加体检6!-!(/!,的员工中#营销部门的人数比研发部门的人数多#则参加体检的人数是7#0!+1!)++!8$.!8(/!!#$0!!第卷*##,)*#($#二!填空题本大题共小题#每小题+分#共!3分!把答案填在答题卡的相应位置!##)*'!已知实数#)满足约束条件)#*#)*#$$则的最大值是#(,!已知向量!*!$#(#*!.!#+#若!!!.(#则$*!!)!!!#$+)$!(!某工厂从其所生产的某种配件中随机抽取了一部分进行质量检测#其某项质量测试指标值#')+!!.!/!#0!%%,服从正态分布-!,5#2#且,落在区间%,2#!$内的配件个数为(,+2#则可估计所抽取的##)#这批配件共有!!)!!万个!(!已知双曲线*&*#)!$''$%的左'右焦点分别是+!#+##,是双曲线*上的一点#且!8'附&若随机变量服从正态分布-!###则&!.#$'#*395#!)#&!.!#$',+!,,+#)%#若,+!,,+##则双曲线*的离心率是!#*392++#&!.,#$',#*3922),!!%!%!%!7在锐角中#内角##所对应的边分别是###且!+!.!/!0!(+!&'()'()%./!/&67(.'*!%&67'$%&(''7!#7/.&67!'#则的取值范围是!!)!!!7!如图#在正三棱柱$**!$!*!中##$$!)%$#-是棱$*的中点#.%在棱**!上#且**!)%*.#则异面直线!-与$!.所成角的余弦值是(5!抛物线有如下光学性质&由其焦点射出的光线经抛物线反射后#沿平行于抛物线对称轴的方向槡(槡(射出!反之#平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点!已知抛物线+!.!!()&0*!1#!1'3焦点为2#准线为3#*为坐标原点#一束平行于#轴的光线3(从点&!#3#!槡(槡%!点&在抛物线)内射入#经过)上的点'反射后#再经过)上另一点(反射后#沿直线3!!/!0!%#射出#且经过点4#若直线*'与抛物线)的准线交于点5#则直线(5的斜率为!!)!!'若+&'+*!+(5+#且&(平分,'(4#则1*!!)!!!!本题第一空!分#第二空,分!高三数学!第!!页共页#理科$!高三数学!第!!页共页#理科$书书三!解答题共#$分!解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤!第%#!&%题为必考题#每个#!!$分试题考生都必须作答!第&&!&!题为选考题#考生根据要求作答!#%已知椭圆#%&$!$&#$四点'$!'$'$'!$$$'(!$$'!!槡$#$$中$一%必考题共'$分!$&%#!!%&分恰有三点在椭圆上!!求椭圆的标准方程通过市场调查#现得到某种产品的资金投入!单位$百万元与获得的利润#!单位$百万元$!的数据#如下表所示$!过点!'$'!的直线(与椭圆交于不同的两点)$*$试问直线'()$'(*的斜率之和是否为定值%若是定值$求出此定值&若不是定值$请说明理由!资金投入&(')利润#!'(#!%求样本!$##$!$*%#&#%#(的相关系数!精确到$+$%&!&根据上表提供的数据#用最小二乘法求出#关于的线性回归直线方程&!!现投入资金%千万元#求获得利润的估计值!$!!$分'已知函数!#!#!!#!$+#&)%$')'$#!$(#$(#$&%!讨论!的单调性&附$相关系数%&#槡&%+%#$+#''%!#&!$&!若+!#有两个零点$求$的取值范围!$(#$(#槡$&%$&%)))对于一组数据!%##%#!&##&#%#!'##'#其回归直线#&*+,的斜率和截距的最#''!#!$#$$(#$(#$#$('#)$&%$&%)$)#小二乘估计分别为*&'&'#,&#(*!$&&&!$(#$('#!二选考题#共$#分!请考生从第$(两题中任选一题作答!如果多做$则按所做的第一个题$&%$&%目计分!%!'选修!'!#坐标系与参数方程(!$#分#&%(*+,!$!&%)!%&分在直角坐标系#,%中$曲线的参数方程为!!为参数$以坐标原点,为极)%&(,-.!已知数列','(的前'项和为-'#,%*!#&-'*,',%-!!!'(&点$#轴的正半轴为极轴建立极坐标系$直线(的极坐标方程是*+,#',-.#'$&#!%求数列,'的通项公式''!$求曲线的普通方程和直线(的直角坐标方程&!&若*'*!-%,'#求数列'*'(的前'项和.'!!设直线(与曲线交于-$.两点$)!#$'$$求#)-#%#).#的值!(%.!!%&分如图#在四棱锥/-0123中#13&/2#'012*'$/#四边形0123是菱形#/1*槡&01*'#(!)()((!选修!'/不等式选讲$#分槡&/0#4是棱/3上的动点#且/4*!/3!已知函数+!#&##'#'##%!#的最大值是/!!%证明$/0&平面0123!!$求/的值&!#&槡%.)#0&是否存在实数!使得平面/01与平面024所成锐二面角的余弦值是若存在!若$%&&/!$#$&#$求%的最小值!%.$&求出!的值&若不存在#请说明理由!!高三数学!第!!页共页#理科$!高三数学!第!!页共!页#理科$书书榆林市#$##!#$#%年度高三第二次模拟检测数学试题参考答案!理科!!&!由题意可得'!#####$!$'!###$#则%$$!$%'!###$!#!(!因为%'$!)*%#$!+#*%'#*$!+#*%',)#*#所以复数%的实部与虚部分别是,和##故复数%的实部与虚部之和是,)#'-!$/!因为#,,#!##所以%!.!&'!/##!$&''012%&012,'!('012#%'+012%&$&#'#(!,!,!3!设参加体检的人数是)#则)+)'4##解得)'!#$!-#!+!3!画出可行域#如图所示#且$#+%#$$,#!%#*$#!%#表示的是可行域##+!内的点与原点,$$#$%连线的斜率#故'&+##'!#%-!.!不妨设-在双曲线*的右支上#由题意可得&'4#则-.!+-.#'#&'!,!##因为-.!)-.#'%,#所以-.!'#,#-.#'!$!因为-.!(-.##所以.!.#'槡-.!)-.#(!%'#-#即#('#-#则('!%#故双曲线*的离心率/''!&44!.!取棱$$!靠近点$的三等分点.#取棱$!*!的中点0#连接!0#10#!.#1.!易证1.)$!2#则*!1.是异面直线!1与$!2所成的角$或补角%!设$',#则$$!'-#从而!0'#槡%#10'-#$1'##$.'##$!.'!$!',#故!.',槡##!1',槡%#1.'#槡#!在+!1.中#由余弦定理可得516*!1.'###!1)1.+!.槡-'!#!1(1.,4!!!7!3!因为516$!)%)516$!)%'#所以516$!)%+6*8$!)%'#所以!+6*8$#!)%'#则!#!#!#!#-##,##,6*8$#!)%'#故516$#!)%'+6*8$#!)%'+!-#%-#9!.!作出3$#%的图象$图略%#由图可知4,!&&&%#&!$!(!当#'&+#'时###)'&+#)'#则+&),#解得+&&,)当#'&#,--%%-%%-##4,&,,&,%'时###)'&)#'#则,)&#解得,&&!综上#&的取值范围是&#'!!#--%#-%!##,!#,槡%!!!&!设+$*外接圆的半径为5#则5'',!设球,的半径为6#因为三棱锥-+$*体积的最大#6*8-$:!槡%##值是%#槡%#所以;;$,槡%%;$槡6#+,#)6%'%#槡%#解得6'#故球,的表面积是,6'!$$!%,!#!(!因为3$#%'$##)#+%<##所以37$#%'$##)%#+,%<#!由37$#%#$#得#&+,或##!#由37$#%&4$#得+,&#&!#则3$#%在$+=#+,%和$!#)=%上单调递增#在$+,#!%上单调递减!因为3$+,%',#<3$!%'+%<#当#-)=时#3$#%-)=#当#-+=时#3$#%-$#所以可画出3$#%的大致图象$图略%!设48'3$#%#则3$8%'&!当$&&&,时#3$8%'&有三个不同的零点8!#8##8%!不妨设8!&8#&8%#则8!&+,#<槡#!)!+,&8#&+#8%#!#从而3$#%'8!无实数根$8!&+%<%或有!个实数根$8!'+%<%或有#个实数#!高三数学参考答案!第!!页#共页$理科%书根$+%<&8!&+,%#3$#%'8#有#个不同的实数根#3$#%'8%有!个实数根#故3$3$#%%'&可能有%个实4数根$8!&+%<%或有,个实数根$8!'+%<%或有个实数根$+%<&8!&+,%!当&',时#3$8%'&有#个<实数根8,'+,#8#!#则3$#%'8,有#个实数根#3$#%'8有!个实数根#故3$3$#%%'&有%个实数根!4当&#,时#3$8%'&有一个实数根8-#!#则3$#%'8-有!个实数根!综上#9$#%的零点个数可能是!或%<或,或!!9!9!%!+!由题意可得#!+'$#4)##+%%#则+#$#4)#%+!'$#解得4'+!,,!!,!!!因为:服从正态分布;$%-#9%#所以'%-##'%#则-$%9,:,,#%'-$)#,:,)##%'&-$+###!,:,)##%+-$+#,:,)#%'';$$/9,+$/-7#4%'$/!%9!#因为:在区间&%9#,#'内的个数为!%9#故可估计所抽取的这批配件共有!万个!!!$!##%!因为#(6*8$$+%'#&6*8516$)'6*8##所以6*8*6*8$$+%'6*86*8516$)6*8$6*8((6*8*6*8%516#所以6*8*6*8$$+%'6*86*8$)$%#则'''516#)#516#',516#+!!因为&6*86*8)$)*'#所以6*8*'6*8$)$%#所以6*8$$+%'6*8#则$+'#即$'#!因为+$*是锐角/$&&##槡#槡%!#%#三角形#所以$&#&#所以&&#所以&516&#则&516&#故!&,516+