河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高三下学期2月月考试题 数学答案和解析

参考答案：1．B2．B3．B4．D5．B6．B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值.【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则，，，由得：，解得：，又，.故选：B.7．C【分析】根据勾股定理和面面垂直的性质定理得到球心位于中点，再求出半径，利用球的体积公式得到答案.【详解】四面体的顶点都在的球的球面上,且，，，,平面平面,平面平面，平面，平面，又平面，，，,,,,取中点,则,球的体积.故选：C.8．B【分析】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，，为到的距离，又是的中位线，故，结合余弦定理，设，即可表示出，即可讨论最值【详解】由图，，，故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则设，则，，由是的中位线，易得，即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为2故选：B9．CD10．CD11．AC【分析】四个选项分别利用正态曲线的性质，二项分布方差的有关性质，非线性回归方程线性化的方法，考虑对立事件即可求概率，即可判断正误.【详解】随机变量，正态曲线关于对称，则,,即，故正确；随机变量，则，故，故错误；∵，∴两边取对数得，令，可得，∵，∴，，∴，故正确；从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的对立事件为选取的4人中没有一名女生，其概率为,则其中至少有一名女生的概率为，故不正确；故选:．12．BD【分析】设点，根据题意可求出的方程可判断A，根据三角形内角平分线的性质可判断B，求出点K的轨迹方程与的方程联立可判断C，设.的坐标结合的方程可判断D.【详解】设点，则由可得，化简可得，故A错误；当，，三点不共线时，因为，，所以，所以，射线是的平分线，故B正确；设存在，则，即，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，又因为不满足，所以不存在满足条件，故C错误；假设轴上存在异于的两定点，使得，可设，可得，由P的轨迹方程为，可得，解得或（舍去），即存在，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题.13．14．【分析】先以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到，，，，根据向量数量积的坐标表示，得到，进而可得出结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，又所以，即，所以，又，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的取值范围，可用建系的方法处理，属于常考题型.15.【答案】【解析】由题意可知，，由余弦定理：，可得，又由正弦定理可得。答案：216．【分析】根据的单调性，易得，，即，从而得到，同理得到，再利用基本不等式求解.【详解】解：当时，，则，所以在上递增，且；当时，，则，所以在上递增，若要使，则，所以，因为函数的图像与直线：交于点，，所以，，所以，即，所以，同理，所以，，当且仅当，即，等号成立，所以的最小值为.故答案为：【点睛】思路点睛：首先确定函数每段的单调性，从而得到交点横坐标的关系，建立模型，再利用基本不等式求解.17．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.【详解】（1）根据正弦定理及，得.∵，∴.∵，∴.（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，∵，∴，即，当且仅当时取等号.∴.∴的最大值为.18．(1)证明见解析(2)11【分析】（1）根据递推公式变换可知数列是以为首项，公比为的等比数列；（2）根据，然后利用等差数列求和公式求解.【详解】（1）解：由题意得：根据，得：可知数列是以为首项，公比为的等比数列..（2）.  解得或，又使不等式成立的最小正整数n为11.19．(1)证明见解析(2)【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可；(2)利用空间向量求线面角即可.【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一个法向量．因为，所以．又平面，所以平面．（2）因为，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则由，解得，令，得平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，则．故：直线与平面所成角的正弦值为．20．(1)列联表见解析，有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系(2)分布列见解析，【分析】（1）根据统计图表分析可得列联表，计算，对照临界值表可得结论；（2）根据分层抽样计算出抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户人数，求出的所有可能取值及其概率，可得分布列和数学期望.【详解】（1）由图表可知，非“重度沉迷”的抖音用户男性有：（人），“重度沉迷”的抖音用户男性有：6人；非“重度沉迷”的抖音用户女性有：（人），“重度沉迷”的抖音用户女性有：14人填写列联表如下：非“重度沉迷”“重度沉迷”合计人数（男）45651人数（女）351449合计8020100根据列联表中的数据计算可得，因此有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系.（2）由表可知：“重度沉迷”的抖音用户有（人），“中度沉迷”的抖音用户有（人），“轻度沉迷”的抖音用户有（人）.抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户分别有（人），（人），（人），X的所有可能取值为100，150，200，250，300，则；；；；.所以X的分布列为：X100150200250300P故购书券总和的数学期望为.22．(1)(2)证明见解析，定点【分析】（1）根据题意列出方程组，求得a,b，可得答案;（2）分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况，斜率存在，设出直线方程并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出，结合根与系数的关系化简，可得参数之间的关系式，结合直线方程，求得答案.（1）由题意点在双曲线上，离心率可得；，解出，，所以，双曲线的方程是（2）①当直线的斜率不存在时，则可设，代入，得，则，即，解得或，当时，，其中一个与点重合，不合题意；当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，整理得，，设，则，由，所以所以，，即,整理得，即，所以或，若，则，直线化为，过定点；若，则，直线化为，它过点，舍去综上，直线恒过定点另解：设直线的方程为①，双曲线的方程可化为，即②，由①②可得，整理可得，两边同时除以，整理得③，，则是方程③的两个不同的根，所以，即④，由①④可得，解得，故直线恒过定点.【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题，综合性较强，计算量大，解答时要明确解题思路，注意分类讨论，解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系，并利用该关系式化简得到参数之间的关系，从而解决直线过定点问题.22．(1)(2)证明见解析【分析】因为，所以设，对进行分类讨论，利用导数研究的单调性、最小值，可得实数的值研究的单调性得要证，即证，即证，即证，设，利用导数研究单调性，即可得证．【详解】（1）因为，所以设，则．当时，，所以单调递增，所以，不满足题意．当时，在区间上单调递增，所以，不满足题意．当时，在区间上单调递减，所以，不满足题意．当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，所以综上可知：．（2）因为，所以，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．要证，即证．因为，，所以即证，因为，所以即证设，则，所以在区间上单调递减，所以．综上可知，原命题得证．【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解题步骤：若为极值点，证明：要证，即证（此处根据函数图像分析），也就是证明或者，又因为，，也就是证明：或者，即证明或者，设，求的单调性及最值即可.23．(1)增区间为，减区间为(2)证明见解析【分析】（1）求得，分别解不等式、可得出函数的增区间和减区间；（2）分析可知，，选①，证明出，，令与的交点为，点的横坐标，则，可得出，构造函数，，可得出，即可得出；选②，求出在处的切线为，证明出，，令与的交点为，点的横坐标，可得出，构造函数，，可得出，即可证得结论成立；选①②，证明出则，，，，令与的交点为，点的横坐标，则，令与的交点为，点的横坐标，则，可得，数形结合可证得结论成立.(1)解：函数的定义域为，.由可得，由可得.所以，函数的增区间为，减区间为.(2)证明：由（1）可知，，由可得，因为函数的增区间为，减区间为，由可知，，若选①，当时，，则，则，，令与的交点为，点的横坐标，则，由可得，，令，，即，，当时，，在上单调递增，所以，；选②，，，所以，在处的切线为.令，其中，，所以，函数在上单调递增，则，所以，，，令与的交点为，点的横坐标，则，可得，所以，，，，，即，，由知，，所以；若选①②，当时，，则，则，，，，所以，在处的切线为.令，其中，，所以，函数在上单调递增，则，所以，，，令与的交点为，点的横坐标，则，令与的交点为，点的横坐标，则，可得，则，由可得.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.