2023届辽宁省抚顺市普通高中第一次模拟考试数学试题

2023年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则集合（）A． B． C． D．2．已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数的虚部是（）A．2 B． C． D．3．甲、乙两名同学分别从“武术”、“排球”、“游泳”、“体操”四个社团中随机选择一个社团加入，则这两名同学加入的是同一个社团的概率是（）A． B． C． D．4．已知是圆的直径，点P是圆的圆心，则的最小值为（）A． B． C．1 D．05．坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，就是坡面与水平面成角的正切值．如图所示，已知斜面的坡度是1，某种越野车的最大爬坡度数是30°，若这种越野车从D点开始爬坡，则行驶方向与直线的最大夹角的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．已知，若，则的值是（）A． B． C． D．7．已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（）A．的最大值为4 B．的最大值为2C．的最小值为 D．的是小值为8．定义在R上的函数同时满足：①，②，则下列结论不正确的是（）A．函数为奇函数 B．关于直线对称C． D．函数的最小正周期二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某学校为了解学生的课业情况，现随机抽取该校若干名学生完成课后作业所用的时间数据，绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A．频率分布直方图中的a的值为0.010B．估计该校学生完成课后作业所用的平均时间为100分钟C．估计该校学生完成课后作业所用的时间在的人数最多D．估计该校约8S%的学生完成课后作业所用的时间不超过2小时10．已知四棱锥，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是（）A．其外接球的表面积为B．其内切球的半径为C．侧面与底面所成角的余弦值为D．不相邻的两个侧面所成角的余弦值为11．设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是（）A． B． C．2 D．12．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，过点A、B分别作抛物线的切线，记两条切线的交点为P，则下列说法正确的是（）A．F点坐标为B．若，则线段中点到x轴距离的最小值为3C．若，则直线过焦点FD．若直线斜率为1，则的最小值为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的展开式中，含项的系数为__________．14．设等差数列的前n项和为，若，，则的值是__________．15．已知函数，且对任意实数x都有，则的值为__________．16．已知，，，则在，，，，，这6个数中，值最小的是__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知中，点D在边上，满足，且，的面积与面积的比为．（1）求的值；（2）若，求边上的高的值．18．（本题满分12分）已知是等差数列的前n项和，是等比数列的前n项和，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．19．（本题满分12分）学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女姓组，对每周自主体育锻炼的时间分段进行统计（单位：小时）第一段，第二段，第三段，第四段，第五段．将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：（1）求折线图中m的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；（2）填写下列列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有关？体育迷非体育迷合计男女合计附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（3）若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？（同一段中的数据用该组区间的中点值代表）20．（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱上，E是侧棱的中点．（1）若，证明：平面；（2）若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小．①平面；②P为的中点．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．（本题满分12分）已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值．22．（本题满分12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．2023年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试数学参考答案与评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）C A B DB C D C二、多项选择题（每小题5分，共20分）AC ACD BD ABC三、填空题（每小题5分，共20分）13．448 14．12 15． 16．四、解答题17．解：（1）因为，所以为的平分线，又的面积与面积的比为，所以，因此由正弦定理得，且，由得，从而且B为说角，所以．（2）由（1）知A为锐角，且，因此，又，所以在中由余弦定理得，解得，于是．18．解：（1）因为，所以，即，即，因为，解得，．所以，．（2）由（1）知得，所以．因此，所以．19．解（1）由频率折线图可得由频率折线图可知女生共有人，其中“体育迷”有人，故男生共有人，其中“体育迷”有人．因此估计该校高一学生中“体育迷”所占比例约为．（2）体育迷非体育迷合计男304575女151025合计4555100因为，而，故没有95%的把握认为是否为“体育迷”与性别有关．（3）由频率折线图可知男生的锻炼时间在每组的频数分别为，，，，；故这100名学生每周的锻炼时间在每组的频率分别为，，，，．所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间为：．因为，所以估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间达到了保持身体良好健康发展的水平．20．（1）证明：连接，设交点为O，连接，在中，点E是的中点，点Q足线段的中点，所以．在中，点O是线段的中点，点P是线段的中点，所以．又因为，，平面，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面．（2）解：若选①平面，连接，因为为正方形，所以点O分别为与的中点，由题意，，所以，同理，且，所以平面．以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则，，，，所以，，，，，．因为平面，所以平面的一个法向量为．平面的一个法向量为．设二面角的平面角为，所以，所以．若选②P为的中点，连接，因为为正方形，所以点O分别为与的中点，由题意，，所以．同理，且，所以平面．以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则，，，，所以，，，，，，则，，设平面的法向量为，由，解得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设二面角的平而角为，所以，所以．21．解：（1）由已知得，且，即，因此有，得．因此，得，，所以椭圆的标准方程为．（2）显然直线经过x轴上的定点，设，，则由椭圆的对称性得，联立消去x得．恒成立，所以，．．令，显然有，于是，当，即时取等号．因此的面积S的最大值为．22．（1）由已知得函数的定义城为，．当时，恒有，所以在是增函数；当时，方程有两个不等的正根，，由，即，解得，或．由，即，解得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．综上，当时，在是增函数；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增．（2）由（1）知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以有两个极值点，，且，满足，，所以，．，且；令，则，当时，，所以在单调递增，，于是，即，，且，令，则，令，，所以在单调递增，在单调递减，所以，因此，即，所以在单调递减，当时，，于是，，因此，．