绝密★启用并使用完毕前2023年3月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DACDCBCB二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。题号9101112答案ADBCABDACD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。51013.160;14.2x4y50;15.[,];16.2.33四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)【解析】(1)因为f(x)23sinxcosxsin2xcos2x3sin2xcos2xπ2sin(2x),6ππ3π所以2kπ2x2kπ,262π5π解得kπxkπ,36π5π所以fx的单调递减区间为kπ,kπkZ.36π(2)因为f(A)2sin(2A)2,所以sin(2A)1.66ππ11πππ因为A(0,π),所以2A(,),所以2A,66662π所以A.3由题意知,S△ABDS△ACDS△ABC,111所以ABADsinBADADACsinCADABACsinBAC,2226所以AD3.5数学答案第1页共5页18.(12分)【解析】(1)如图,连接AC,交BD于点O,连接PO,由ADAB,CDBC,ACAC,可得△ABC≌△ACD,所以BACDAC,又AOAO,所以△AOB≌△AOD,所以BOOD,即O为BD中点,在等腰△PBD中,可得BDOP,在等腰△BCD中,BDOC,又OPOCO,所以BD平面POC,又PC平面POC,所以BDPC.(2)由(1)可得,ACBD,1又CD7,ODBD3,2所以COCD2OD22,AO3OD3,由于PABD为正三棱锥,点P在底面ABD的垂足一定在AO上,设垂足为M,2根据正三棱锥的性质可得AMAO2,PMAP2AM23,3如图,以OA,OB所在直线为x轴,y轴建立空间直角坐标系.可得A(3,0,0),C(2,0,0),D(0,3,0),P(1,0,3),PC(3,0,3),DC(2,3,0)又AC(5,0,0),(或AD(3,3,0),AP(2,0,3))设平面PCD的法向量n(x,y,z),可得nPC03x3z03xz0,nDC02x3y02x3y0不妨令x3,可得n(3,2,3),|nAC|5所以d=3,|n|45故所以点A到平面PCD的距离为3.4数学答案第2页共5页19.(12分)1a1a【解析】(1)因为bbn+1nn+1nn+1nn1an+11annan+1n+1an1n+1=n+1nn+1nn+1nn+1nn+1n0,所以bn+1bn,所以bn是常数数列.1a(2)因为a1,所以bb12,1n111a所以n2,n所以an2n1.2n12n1因为cnsin2n12sinnπ2,22π3π5ππ所以1354n1S2nsinsinsinsin2nπ222222222142n24n1211111,14324n12所以S.2n320.(12分)1【解析】(1)x(38414451545658647480)56.10(2)因为体质测试不合格的学生有3名,所以X的可能取值为0,1,2,3.C37C2C121C1C27C31因为7,73,73,3.P(X0)3P(X1)3P(X2)3P(X3)3C1024C1040C1040C10120所以X的分布列为X012372171P244040120212222222222(3)因为x56,s(181512520281824)169,10所以56,13.因为P(30X82)P(-2+2)0.9545,所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545,因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数为YB(100,0.9545),所以E(Y)1000.954595.45.数学答案第3页共5页21.(12分)【解析】(1)将ykx2pk2p代入x22py,化简得x22pkx4p2(k1)0.(*)方程(*)的判别式4p2k24(4p2k4p2)0化简得k24k40,即k2.()设,2A(xA,yA)B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),E(xE,yE),F(xF,yF),抛物线x22py上过点A,B,C的切线方程分别为22py2xAxxA,22py2xBxxB,22py2xCxxC,两两联立,可以求得交点D,E,F的横坐标分别为xxxAB,D2xxxAC,E2xxxBC,F2注意到结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例,得ADEFDBxxBA,DEFCBFxCxB命题得证.22.(12分)x21【解析】(1)f(x)ex,f(1)e,22f'(x)exx,f'(1)e1,1所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程y(e)(e1)(x1),2即2(e1)x2y10.(2)因为f'(x)exax2x2a≥0在区间[0,)上恒成立,x所以ex,a(2)minx2exx(ex1)(x22)(exx)2x令g(x),则g'(x),x22(x22)2令h(x)(ex1)(x22)(exx)2x,则h'(x)x2ex2x,当x≥0时,h'(x)≥0,h(x)单调递增,h(x)≥h(0)0,所以g'(x)≥0,所以g(x)单调递增,数学答案第4页共5页1g(x)g(0),min21所以a≤.2ax2(3)f(x)exx32ax,f(0)1,32f'(x)exax2x2a,f'(0)12a,f''(x)ex2ax1,f'''(x)ex2a,11x2x2当a时,f(x)exx3x,f'(x)exx1,2622x2令g(x)exx1,则g'(x)exx1,g''(x)ex1,2当x0时,g''(x)0,g'(x)在(,0)上单调递减,当x≥0时,g''(x)≥0,g'(x)在[0,)上单调递增,g'(x)≥g'(0)0,g(x)在(,)上单调递增,且g(0)0,所以,当x0时,g(x)0,f'(x)0,f(x)在(,0)上单调递减,当x0时,g(x)0,f'(x)0,f(x)在(0,)上单调递增,所以f(x)minf(0)1.1所以a适合,21当a时,当0xln2a时,f'''(x)0,2f''(x)在(0,ln2a)上单调递减,f''(x)f''(0)0,f'(x)在(0,ln2a)上单调递减,f'(x)f'(0)12a<0,f(x)在(0,ln2a)上单调递减,此时,f(x)f(0)1,舍去.当a≤0时,当x0时,f''(x)ex2ax10,f'(x)在(,0)上单调递减,f'(x)f'(0)12a0,f(x)在(,0)上单调递增,f(x)f(0)1,舍去;1当0a时,当ln2ax0时,f'''(x)0,f''(x)在(ln2a,0)上单调递增,2f''(x)f''(0)0,f'(x)在(ln2a,0)上单调递减,f'(x)f'(0)12a0,f(x)在(ln2a,0)上单调递增,此时,f(x)f(0)1,舍去.1综上,a.2数学答案第5页共5页
2023年3月济南市高三模拟考试数学试题参考答案
2023-11-22
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