岳阳市2023届高三教学质量监测（二）数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B2．C3．D4．B5．D6．C7．D8．A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．AC10．BD11．ACD12．CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。æ37ö400313．214．—1015．-x3+2x2（答案不唯一，mÎç,÷均可）16．3,è23ø45四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）sinB+sinC解：（1）在DABC中，由3sinC+cosC=可得sinA3sinCsinA+cosCsinA=sin(A+C)+sinCÞ3sinCsinA=cosAsinC+sinCπ1sinC>0,\3sinA-cosA=1Þsin(A-)=…………………2分Q62ππ5πAÎ(0,π)\A-Î(-,)Q666πππ\A-=ÞA=…………………4分66311π（2）S=bcsinA=(a+b+c)r且A=,r=2DABC22333Þbc=2(a+b+c)即a=bc-b-c…………………5分24由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccosAÞa2=b2+c2-bc………6分3所以(bc-b-c)2=(b+c)2-3bc4333b+c于是(b+c)-3=bc£()2,当且仅当b=c时取=216162高三二模数学答案第1页共8页83所以（3b+c)2-32(b+c)+643³0Þb+c³83或b+c£………8分3π2由r=2,A=知b+c>2´=433πtan6所以b+c³83Þ（b+c）min=83…………………10分18．（本题满分12分）SS解：（1）由S=2S+2n+1得n+1=n+1，…………………1分n+1n2n+12nìSüS1所以数列íný是以1=为首项，公差为1的等差数列……………2分î2nþ22S12n-1∴n=+(n-1)=，即S=(2n-1)×2n-1…………………3分2n22n∴当n³2时，n-1n-2n-2an=Sn-Sn-1=(2n-1)×2-(2n-3)×2=(2n+1)×2……………5分ì1,n=1又不满足上式，所以……………6分a1=1an=ín-2î(2n+1)×2,n³2n-1（2）由（1）知Sn=(2n-1)×2，…………………7分(2n-1)×2n-112∴b==(n-)×()n………………8分n3n2312125-2n2∴b-b=(n+)()n+1-(n-)()n=()()n………………9分n+1n232363∴当n£2时，bn+1>bn；当时，，即……………10分n³3bn+1b4>b5>L2020m2-m+18所以b的最大值为b=，依题意<即m2-m-2>0，n3272727解得m<-1或m>2。…………………12分19．（本题满分12分）解：(1)证明：∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．高三二模数学答案第1页共8页又∵M，E分别为AC，BC的中点，∴ME∥AB，∴CD⊥ME.………………4分42tanB(2)选①，在图1所示的△ABC中，由tan2B＝－＝，31－tan2B1解得tanB＝2或tanB＝－(舍去)．…………………5分2ADx设AD＝CD＝x，在Rt△ABD中，tanB＝＝＝2，BD3－x解得x＝2，∴BD＝1.…………………6分以点D为原点，DB，DC，DA分别为x，y，z轴建立如图所示的坐标系Dxyz，1，1，0D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E2，→则BM＝(－1,1,1)．1→－，a－1，0设N(0,a,0)，则EN＝2.1→→－，a－1，01∵EN⊥BM，∴EN·BM＝0，即2·(－1,1,1)＝0，解得a＝，210，，01∴N2，∴当DN＝(即N是CD的靠近D的一个四等分点)时，EN⊥BM.2…………………8分1→－1，，0设平面BMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，且BN＝2，→1n·BN＝0，－x＋y＝0，由得2令＝，则＝，－．→x1n(1,21)n·BM＝0，－x＋y＋z＝0，取平面CBN的一个法向量m＝(0,0,1)，…………………10分m·n|(0，0，1)·(1，2，－1)|6则|cos〈m，n〉|＝||m||n||＝＝，12＋22＋(－1)266∴平面BMN与平面CBN的夹角的余弦值为.…………………12分6→→选②，在图1所示的△ABC中，设BD＝λBC，→→→→→→→→→→则AD＝AB＋BD＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝(1－λ)AB＋λAC，高三二模数学答案第1页共8页→2→1→1又∵AD＝AB＋AC，由平面向量基本定理知λ＝，即BD＝1.333以点D为原点，DB，DC，DA分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，1，1，0D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E2，→则BM＝(－1,1,1)．1→－，a－1，0→→设N(0，a,0)，则EN＝2.∵EN⊥BM，∴EN·BM＝0，11－，a－1，010，，0即2·(－1,1,1)＝0，解得a＝，∴N2，21∴当DN＝(即N是CD的靠近D的一个四等分点)时，EN⊥BM.21→－1，，0设平面BMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，且BN＝2，→1n·BN＝0，－x＋y＝0，由得2令＝，则＝，－．→x1n(1,21)n·BM＝0，－x＋y＋z＝0，取平面CBN的一个法向量m＝(0,0,1)，m·n|(0，0，1)·(1，2，－1)|6则|cos〈m，n〉|＝||m||n||＝＝，12＋22＋(－1)266∴平面BMN与平面CBN的夹角的余弦值为.6选③，在图1所示的△ABC中，设BD＝x(00；当112，且m+4…………………9分í12ïyy=î12m2+4yy直线EG的斜率为1，直线FG的斜率为2x1-ax2-ay1y2由kEG+kFG=＋＝0得：y1(x2-a)+y2(x1-a)=0公众号：网课来了x1-ax2-a∴y1(my2+4-a)+y2(my1+4-a)=0…………………10分24m8(4-a)m即2myy+(4-a)(y+y)=-=0恒成立。1212m2+4m2+4解得a=1即存在x轴上的定点G(1,0)。…………………12分22．（本题满分12分）已知函数f(x)=ln1xx-+.11-x解：（1）fx()的定义域为(0,+¥),1fx¢()=-=，…………………1分xx当xÎ(0,1)时，f¢(x)>0,fx()单调递增；当xÎ(1,+¥)时，f¢(x)<0,fx()单调递减，fxf==10所以()max()…………………3分22（2）由题意g()x=f()x+a(x-1)=lnx-x+11+-ax()12ax2-(2a+1)x+1(x--1)(21ax)g¢()x=-1+2a(xx-10)==>()xxx……4分①当a£0时，函数gx()在(01，)上单调递增，在(1，+¥)上单调递减，此时，不存在实数bÎ(2,3)，使得