重庆市西南大学附属中学2023年高三拔尖强基定时期中质检丨数学试题

2023年高三拔尖强基定时期中质检数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时150分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知集合，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．2．如果复数是纯虚数，则实数的值为（）A．0 B．2 C．0或3 D．2或33．若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④.其中是“理想函数”的序号是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④4.已知函数f(x)为偶函数，定义域为R，当x>0时，f′(x)<0，则不等式f(x2－x)－f(x)>0的解集为（）A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2))5.石碾子是我国传统粮食加工工具．如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（）A.3∶2B.5∶4C.5∶3D.4∶36.已知等差数列{an}的首项a1≠0，而a9＝0，则eq\f(a1＋a8＋a11＋a16,a7＋a8＋a14)＝（）A.0B.2C.－1D.eq\f(1,2)7.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.8.四面体的各个顶点都在球的表面上，两两垂直，且是线段上一点，且，过作四面体外接球的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。9.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.为函数的一个周期B.是曲线的一个对称中心C.若函数在区间上单调递增，则实数的最大值为D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象10.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，下列说法正确的有（）A.线段长度的最小值为4B.过点与抛物线只有一个交点的直线有两条C.直线交抛物线的准线于点，则直线平行轴D.可能为直角三角形11．已知A（4，2），B（0，4），圆，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（  ）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．最大时，12.已知，则有（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，直三棱柱，，，侧棱长为，点是侧面内一点．当最大时，过、、三点的截面面积的最小值为______．14．若函数y＝sinωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________.15.已知直线l：y＝kx＋b是函数f(1)＝ax2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0))与函数geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ex的公切线，若（1，f(1)）是直线l与函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))相切的切点，则b＝________．16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，c＝3b，则△ABC面积的最大值是__________；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知数列的前项和为，且满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）若，数列的前项和为，求证：.18.（12分）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.（1）求；（2）若的面积为，求的值.19.（12分）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若侧面是正方形，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？21．（12分）已知点F（0，1）和直线：y=-1，直线过直线上的动点M且与直线垂直，线段MF的垂直平分线l与直线相交于点P．（1）求点P轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点．若C上恰好存在三个点，使得的面积等于，求l的方程．22．（12分）已知函数，．（1）证明：f（x）存在唯一零点；（2）设，若存在，，使得，证明：2023年高三拔尖强基定时期中质检数学试卷参考答案选择题：CACCBAAAABDACACBCD填空题：13．314．[－4,0)15.－eq\f(e\r(e),2)16.3；（eq\f(3,4)，2）解答题：17.（1）由，得①，当时，②，①-②整理得，当时，，即，数列是以9为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，即，.18．（1）因为向量与向量共线，故， 即， ， ，∴， 又，． 由已知，所以． 由余弦定理得，即，联立 解得或， 所以．19.（1）取中点为，连接，因为点分别为的中点，故，，又点为的中点，且四边形为矩形，故，，故，，故四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面；（2）因为为正方形，故可得，又因为平面平面，且平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.20.（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，则，，所以，.（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，所以，，，，所以的分布列如下表：0123所以（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试21．（1）连接PF，因为MF的垂直平分线l交于点P，所以，即点P到定点F（0，1）的距离等于点P到直线：y=-1的距离，由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线；（2）如图，作与l平行且与C相切的直线，切点为D．由题知的面积等于．设l的方程为y=kx+1，方程可化为，则，令，解得x=2k，将x=2k代入，得，故，所以D到l的距离，由消去y，得，从而，，所以，故的面积，从而，解得=或．所以l的方程为或．22．（1）证明：，．，，因为时，恒成立，所以在上单调递增，因为，所以在（-1，0）上恒小于0，在上恒大于0，所以f（x）在（-1，0）上单调递减，在上单调递增，因为，所以有唯一零点0．（2）证明：因为，所以，若是方程的根，则是方程的根．因为，都单调递增，所以，所以，设，，所以的解为，的解为（-1，1），所以h（x）在（-1，1）上递减，在上递增，所以h（x）的最小值为h（1）=1-2ln2，即的最小值为1-2ln2．