备战2023年高考数学模考适应模拟卷02（新高考专用）（解析版）

保密★启用前2023新高考名师一模模拟卷（2）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题(每小题5分，共40分)1．已知集合，，则=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的定义域化简集合，根据一元二次不等式的解法化简，根据交集的定义求即可.【详解】，，所以，.故选：D.2．若，，是的共轭复数，则（    ）A． B．2 C． D．10【答案】C【分析】根据共轭复数的概念写出，然后，求出，进而求出的模长.【详解】，所以，故选：C3．函数的图象大致形状是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据时的函数值可排除B.【详解】因为，定义域为R，又，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除CD，又当时，，，故排除B.故选：A.4．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目首先列出总的事件数，再列出满足条件的基本事件数，进一步求出答案.【详解】“金、石”为打击乐器共2种，“匏、竹”为吹奏乐器共2种，“丝”为弹拨乐器，共1种，5选2的基本事件有（金、石）（金、匏）（金、竹）（金、丝）（石、匏）（石、竹）（石、丝）（匏、竹）（匏、丝）（竹、丝），共10种情况，其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为（金、匏）（金、竹）（石、匏）（石、竹），共4种，故所求概率为.故选：B.5．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种（x＝0）时该果树的高为1.5m，经过2年，该果树的高为4.5m，则该果树的高度不低于5.4m，至少需要（    ）A．3年 B．4年 C．5年 D．6年【答案】A【分析】根据函数模型解析式，代入值得到方程组，解出，则得到函数解析式，代入或列不等式均可.【详解】由题意可得,,则,解得,所以,，由函数的解析式可得,在上单调递增,且,故该果树的高度不低于,至少需要3年.故选：A.6．点在圆上运动，直线分别与轴、轴交于、两点，则面积的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出以及点到直线的距离的最大值，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】易知点、，则，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最大值为，所以，面积的最大值是.故选：D.7．如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，∴，设，，∴，又，∴，解得，∴，即的最小值为.故选：B.8．已知函数，若，其中，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得到，即，然后分和两种情况，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为，由上面结论可得，所以，其中，则.当时，当且仅当，，时等号成立；当时，，当且仅当，时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.二、多选题(每小题5分，共20分)9．如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（    ）注：，A．2020年10月，全国居民消费价格同比下降B．2020年11月，全国居民消费价格环比下降C．2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高D．2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格【答案】BCD【分析】A选项，由于，故可判断2020年10月，全国居民消费价格同比上升；B选项，，故2020年11月全国居民消费价格环比下降；C选项，2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C正确；设2019年4月的全国居民消费价格为，表达出2020年4月的全国居民消费价格为，及2019年5月的全国居民消费价格，比较大小，从而作出判断.【详解】从图中可以看出2020年10月，全国居民消费价格同比为，故全国居民消费价格同比上升，A错误；2020年11月，全国居民消费价格环比为，故全国居民消费价格环比下降，B正确；2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C正确；设2019年4月的全国居民消费价格为，则2020年4月的全国居民消费价格为，则2020年5月的全国居民消费价格为，故2019年5月的全国居民消费价格为，而，故2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格，D正确.故选：BCD10．已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据动圆C与圆A和直线l都相切，分圆C与圆A相外切和圆C与圆A相内切，分别取到A的距离为d+1，d-1，且平行于l的直线，，利用抛物线的定义求解.【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切，当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；所以，当时，抛物线不完整，所以，，，，故选：ABD11．对于函数，下列结论正确得是（    ）A．的值域为 B．在单调递增C．的图象关于直线对称 D．的最小正周期为【答案】AD【分析】先分析函数的奇偶性与周期性，再利用周期性，选取一个周期来研究即可对每一个选项作出判断.【详解】，，所以，所以是偶函数，又，所以是函数的周期，又，故的最小正周期为.对于A，因为的最小正周期为，令，此时，所以，令，所以有，可知其值域为，故A正确；对于B，由A可知，在上单调递增，在上单调递减，因为，所以在上不是单调递增，故B不正确；对于C，因为，，所以，所以的图象不关于直线对称，故C不正确；对于D，前面已证明正确.故选：AD12．以下四个不等关系，正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】结合基本不等式及对数函数的单调性估计判断A；利用导数证明，赋值判断B；观察不等式的结构，构造函数，利用导数判断其单调性，利用函数单调性比较大小，判断C；根据函数的单调性判断D.【详解】对于A，因为，所以A正确；对于B，因为，故考虑构造函数，因为，仅当时等号成立，所以函数在上单调递减，所以，故，所以，B不正确对于C，不等式，等价于，等价于，设，，则，当时，，函数在单调递减，当时，，函数在单调递增，所以，即，所以，C正确；对于D，因为，所以，，因为函数在单调递增，又，所以，又，所以，即，D正确，故选：ACD.【点睛】本题解决的关键在于观察不等式的结构，通过构造函数，判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.第II卷（非选择题）三、填空题(每小题5分，共20分)13．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.【答案】270【解析】首先利用赋值法求出所有项的系数和，建立方程求出参数，然后利用二项展开式的通项求常数项即可.【详解】令，的展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，所以展开式的通项，令，得，所以常数项为.故答案为：270.【点睛】对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.14．已知角的终边过点，则___________，___________.【答案】        【分析】由题，根据三角函数定义直接求得的值，再利用诱导公式对原式进行化简，再分子分母同除以，代入可得结果.【详解】因为角的终边过点，所以原式故答案为和【点睛】本题考查了三角函数的知识，熟悉定义和诱导公式化简是解题的关键，属于基础题.15．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是___________.【答案】【分析】设右焦点为，连接，.判断出四边形为矩形.在中，解三角形求出，，利用椭圆的定义得到，即可求出离心率.【详解】设右焦点为，连接，.因为，即，可得四边形为矩形.在中，，.由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.故答案为：.16．在长方体中，底面是边长为的正方形，，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则直线与平面的交点的轨迹长度为______.【答案】【分析】连接，然后可得，，，四点共面，连接，，，设，，连接，然后可得点的运动轨迹为，然后以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，然后根据条件求出点的坐标即可.【详解】连接，因为，分别为棱，的中点，所以，则，，，四点共面，连接，，，设，，连接，平面平面，所以当点在线段上运动时，点的运动轨迹为.以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由，，得.易得，且，过点作，交于点，易得，，则，从而可得，所以，所以故答案为：四、解答题(共70分)17．（本题10分）已知数列的首项，且满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将已知条件转化为，由此证得数列是等比数列.（2）利用分组求和法求得.（1）由，得，又，故，故，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）可知，所以，      所以．18．（本题12分）在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，______？.【答案】见解析【分析】若选①，则，由正弦定理列方程可求出，再求出，然后利用正弦的二倍角公式可求出，再利用正弦定理可求出c的值，若选②，则由已知条件可求出，从而可得，然后利用余弦定理可求出c的值，若选③，则由已知可得，再由正弦定理可得，从而可得三角形不存在【详解】若选①，则，且,因为，，由正弦定理得，则，即,所以，，得，因为，所以，因为，所以角为锐角，所以，所以,所以由正弦定理得,若选②，则由的面积为，，，得，所以，当为锐角时，，此时由余弦定理得，所以，当为钝角时，，此时由余弦定理得，所以，综上，或，若选③，由，得，由正弦定理得，则，所以三角形不存在19．（本题12分）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.(1)设事件C表示A组中恰好