2023年广东省普通高中学业水平选择考模拟测试（一）2023年”广东一模“数学参考答案

★启用前注意保密２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）数学参考答案评分标准：１．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。２．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。３．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号１２３４５６７８答案ＢＣＤＤＣＢＡＣ二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分。题号９１０１１１２答案ＢＤＡＣＤＡＤＢＣ三、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分。请把答案填在答题卡的相应位置上。π３３３１３． １４．－槡或槡 １５．２４ １６．５３５(７)四、解答题：本大题共６小题，共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。１７．解：（１）因为ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ－ｃｏｓ２Ｃ＝１－２ｓｉｎＡｓｉｎＢ，所以１－２ｓｉｎ２Ａ＋１－２ｓｉｎ２Ｂ－（１－２ｓｉｎ２Ｃ）＝１－２ｓｉｎＡｓｉｎＢ，!!!!!!１分整理得ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ，!!!!!!!!!!!!!!!!２分由正弦定理得ａ２＋ｂ２－ｃ２＝ａｂ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!３分ａ２＋ｂ２－ｃ２１由余弦定理得ｃｏｓＣ＝＝，!!!!!!!!!!!!!!!!４分２ａｂ２π因为Ｃ∈（０，π），所以Ｃ＝．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分３数学模拟测试（一）参考答案 第 １页（共８页）书２π３（２）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ－Ａ＋槡!!!!!!!!!!!!６分(３)２２π２π３＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎｃｏｓＡ－ｃｏｓｓｉｎＡ＋槡３３２３３３＝ｓｉｎＡ＋槡ｃｏｓＡ＋槡２２２π３＝３ｓｉｎＡ＋＋槡，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分槡(６)２π２π在△ＡＢＣ中，因为Ｃ＝，所以０＜Ａ＜，!!!!!!!!!!!!!!９分３３ππ５π１ππ３３３所以＜Ａ＋＜，所以＜ｓｉｎＡ＋≤１，所以３＜３ｓｉｎＡ＋＋槡≤槡，６６６２(６)槡槡(６)２２３３所以ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ的取值范围为３，槡．!!!!!!!!!!１０分(槡２]２１８．解：（１）当ｎ＝１时，ａ１＝２Ｓ１－ａ１＝ａ１，所以ａ１＝１或ａ１＝０（舍去），!!!１分２ａｎ＝２Ｓｎ－ａｎ，当ｎ≥２时，有!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分{ａ２＝２Ｓ－ａ，ｎ－１ｎ－１ｎ－１２２两式相减得ａｎ－ａｎ－１＝２ａｎ－ａｎ＋ａｎ－１＝ａｎ＋ａｎ－１，!!!!!!!!!!!３分整理得（ａｎ＋ａｎ－１）（ａｎ－ａｎ－１）＝ａｎ＋ａｎ－１，!!!!!!!!!!!!!!!４分因为｛ａｎ｝的各项都是正数，所以ａｎ－ａｎ－１＝１，所以｛ａｎ｝是首项为１，公差为１的等差数列，!!!!!!!!!!!!!５分所以ａｎ＝１＋１·（ｎ－１）＝ｎ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分ｎ（ｎ＋１）１２１１（２）由（１）得Ｓ＝，则＝＝２－，!!!!!!!７分ｎ２Ｓｎ（ｎ＋１）(ｎｎ＋１)ｎ１１１１１１１１１所以Ｐ＝＋＋…＋＝２１－＋－＋…＋－＝２１－，ｎＳＳＳ(２２３ｎｎ＋１)(ｎ＋１)１２ｎ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分１１由（１）得＝ｎ－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分ａ２ｎ－１２１ｎ１－１１１１１１１(２)１所以Ｑｎ＝＋＋…＋＝１＋＋２＋…＋ｎ－１＝＝２１－ｎ，ａａａ２ａｎ－１２１(２)１２２２２２１－２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分ｎｎ（ｎ＋１）因为２ｎ＝（１＋１）＝１＋ｎ＋＋…＞１＋ｎ＞０（ｎ≥２），２１１１１所以＜，故１－＞１－，２ｎ１＋ｎ２ｎ１＋ｎ数学模拟测试（一）参考答案 第 ２页（共８页）所以当ｎ≥２时，Ｐｎ＜Ｑｎ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分１９．解：（１）如图，取ＢＣ中点Ｈ，连接ＥＨ，因为ＥＢ＝ＥＣ，所以ＥＨ⊥ＢＣ，!!１分又因为平面ＢＣＥ⊥平面ＢＣＤ，平面ＢＣＥ∩平面ＢＣＤ＝ＢＣ，ＥＨ平面ＢＣＥ，所以ＥＨ⊥平面ＢＣＤ，!!!!!!!２分同理可得ＡＧ⊥平面ＢＣＤ，所以ＥＨ∥ＡＧ，!!!!!!!!!!!!!!!!!３分又因为ＡＧ平面ＢＣＥ，ＥＨ平面ＢＣＥ，所以ＡＧ∥平面ＢＣＥ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分因为点Ｆ，Ｇ分别是ＣＤ，ＢＤ中点，所以ＦＧ∥ＢＣ，又因为ＦＧ平面ＢＣＥ，ＢＣ平面ＢＣＥ，所以ＦＧ∥平面ＢＣＥ，!!!!!!５分又因为ＡＧ∩ＦＧ＝Ｇ，ＡＧ，ＦＧ平面ＡＦＧ，所以平面ＡＦＧ∥平面ＢＣＥ．!!６分（２）方法一：因为ＢＣ⊥ＢＤ，ＢＣ／／ＦＧ，所以ＦＧ⊥ＢＤ，由（１）知ＡＧ⊥ＢＤ，ＡＧ⊥平面ＢＣＤ，ＧＦ平面ＢＣＤ，所以ＡＧ⊥ＧＦ，所以ＧＦ，ＧＢ，ＧＡ两两相互垂直，!!!!!!!７分如图，以点Ｇ为坐标原点，ＧＦ，ＧＢ，ＧＡ分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，因为ＡＢ＝槡２，ＢＥ＝槡５，所以ＧＡ＝ＧＢ＝１，ＥＨ＝２，ＢＨ＝１，则Ａ（０，０，１），Ｃ（２，１，０），Ｅ（１，１，２），!!!!８分→平面ＡＦＧ的一个法向量为ＤＢ＝（０，２，０），!!!９分→设平面ＡＣＥ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），→→由ＡＣ＝（２，１，－１），ＣＥ＝（－１，０，２），３ｘ→→ｙ＝－，ｎ·ＡＣ＝０，２ｘ＋ｙ－ｚ＝０，２→得即解得取ｘ＝２，得ｎ＝（２，－３，１），→→{－ｘ＋２ｚ＝０，ｘ{ｎ·ＣＥ＝０，ｚ＝，{２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分设平面ＡＦＧ和平面ＡＣＥ的夹角为θ，→→→→ｎ·ＤＢ６３１４则ｃｏｓθ＝ｃｏｓ＜ｎ，ＤＢ＞＝＝＝槡，→→１４ｎ·ＤＢ２×槡１４３１４所以平面ＡＦＧ和平面ＡＣＥ的夹角的余弦值为槡．!!!!!!!!!１２分１４方法二：因为平面ＡＦＧ∥平面ＢＣＥ，所以平面ＡＦＧ和平面ＡＣＥ的夹角即二面角Ａ－ＣＥ－Ｂ．如图，过点Ａ作ＡＭ⊥ＣＥ，垂足为点Ｍ，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＥＣ交ＢＥ于点Ｎ，则∠ＡＭＮ为二面角Ａ－ＣＥ－Ｂ所成平面角．!!!!!!!!!!!!!!!７分数学模拟测试（一）参考答案 第 ３页（共８页）２２在Ｒｔ△ＢＣＧ中，ＧＣ＝槡ＢＧ＋ＢＣ＝槡５，２２在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＡＣ＝槡ＡＧ＋ＧＣ＝槡６，ＡＧ∥ＥＨ，１在直角梯形ＡＧＨＥ中，∵∴ＧＨ＝ＤＣ＝槡２，２２２{ＣＤ＝槡ＤＢ＋ＣＢ＝２槡２，２２所以ＡＥ＝槡（２－１）＋（槡２）＝槡３，!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分ＡＣ２＋ＣＥ２－ＡＥ２４在△ＡＣＥ中，ｃｏｓ∠ＡＣＥ＝＝，２·ＡＣ·ＣＥ槡３０１６１４所以ｓｉｎ∠ＡＣＥ＝１－＝，槡３０槡３０１利用三角形等面积可得Ｓ＝·ＡＣ·ＣＥ·ｓｉｎ∠ＡＣＥ＝△ＡＣＥ２１１４１１×６×５×＝·ＡＭ·ＣＥ＝×５·ＡＭ，所以ＡＭ＝２槡槡槡３０２２槡１４１４５槡，ＥＭ＝３－＝槡，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分槡５槡５５３５４５因为ｃｏｓ∠ＢＥＣ＝２ｃｏｓ２∠ＢＥＨ－１＝，所以ＥＮ＝槡，ＭＮ＝槡，!!!!１０分５３１５ＢＮＥＮ２２５２２过点Ｎ作ＮＰ⊥ＢＣ于Ｐ，＝１－＝，则ＢＮ＝槡，ＢＰ＝ＢＨ＝，ＮＰ＝ＢＥＢＥ３３３３２２４４２２１３４１３１４ＥＨ＝，ＧＰ＝槡ＧＢ＋ＢＰ＝槡，所以ＡＮ＝－１＋槡＝槡，３３３槡(３)(３)３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分１４１６１４＋－１４１４４５５４５９在△ＡＭＮ中，ＡＮ＝槡，ＡＭ＝槡，ＭＮ＝槡，所以ｃｏｓ∠ＡＭＮ＝３５１５１４４５槡２×槡×槡槡５１５３１４３１４＝槡，所以平面ＡＦＧ和平面ＡＣＥ夹角的余弦值为槡．!!!!!!１２分１４１４２０．解：（１）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率２２Ｃ５＋Ｃ５４为２＝，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１分Ｃ１０９４因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数Ｘ服从二项分布，即Ｘ～Ｂ２，，!!２分(９)所以Ｘ的所有可能取值为０，１，２，则４０５２２５Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ０·×＝，２(９)(９)８１数学模拟测试（一）参考答案 第 ４页（共８页）４１５１４０Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１·×＝，２(９)(９)８１４２５０１６Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２·×＝，２(９)(９)８１所以Ｘ的分布列为Ｘ０１２２５４０１６Ｐ８１８１８１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分４８所以Ｘ的数学期望为Ｅ（Ｘ）＝２×＝．!!!!!!!!!!!!!!!５分９９（２）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Ｙ的所有可能取值为０，１，２，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分１１１１Ｃ５Ｃ５Ｃ４Ｃ４２０则Ｐ（Ｙ＝０）＝２·２＝，Ｃ１０Ｃ８６３２２１１１１２２Ｃ５＋Ｃ５Ｃ３Ｃ５Ｃ５Ｃ５Ｃ４＋Ｃ４１５１５３０１０Ｐ（Ｙ＝１）＝２·２＋２·２＝＋＝＝，Ｃ１０Ｃ８Ｃ１０Ｃ８６３６３６３２１２２２２Ｃ５＋Ｃ５Ｃ３＋Ｃ５１３Ｐ（Ｙ＝２）＝２·２＝，Ｃ１０Ｃ８６３所以Ｙ的分布列为Ｙ０１２２０１０１３Ｐ６３２１６３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分１０１３８所以Ｙ的数学期望为Ｅ（Ｙ）＝１×＋２×＝．!!!!!!!!!!!１０分２１６３９（３）（答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可）因为（１）（２）两问的数学期望相等，第（１）问中两次奖的概率比第（２）问的大，即１６１３２５２０＜，第（１）不中奖的概率比第（２）问小，即＜，８１６３８１６３回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（２）问方式进行抽．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（１）问方式进行抽奖．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分２１．解：（１）当点Ａ，点Ｂ和点Ｃ为椭圆的顶点时，△ＡＢＣ恰好构成边长为２的等边三角形，数学模拟测试（一）参考答案 第 ５页（共８页）①当点Ａ，点Ｂ和点Ｃ中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点Ａ，点Ｂ为上顶点和下顶点，点Ｃ为右顶点，此时，ａ＝槡３，ｂ＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分②当点Ａ，点Ｂ和点Ｃ中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点Ａ，点Ｂ为左顶点和右顶点，点Ｃ为上顶点，此时，ａ＝１，ｂ＝槡３（舍去），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!３分ｘ２所以椭圆的标准方程为＋ｙ２＝１．!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分３（２）设Ａ（ｐ，ｑ），Ｂ（ｘ１，ｙ１），Ｃ（ｘ２，ｙ２），→→→因为ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ＝０，所以ｐ＋ｘ１＋ｘ２＝０，ｑ＋ｙ１＋ｙ２＝０，①当直线ＢＣ斜率不存在时，即ｘ１＝ｘ２，ｙ１＝－ｙ２，则Ａ（－２ｘ１，０），３３因为点Ａ在椭圆上，所以ｘ２＝，则有ｙ２＝，１４１４３３所以ＢＣ＝３，点Ａ到ＢＣ的距离为３ｘ＝槡，槡１２１３３９此时Ｓ＝×３×槡＝．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分△ＡＢＣ２槡２４②当直线ＢＣ斜率存在时，设直线ＢＣ方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，ｙ＝ｋｘ＋ｍ，２２２联立得ｘ２消去ｙ整理得（１＋３ｋ）ｘ＋６ｋｍｘ＋３ｍ－３＝０，＋ｙ２＝１，{３满足Δ＝（６ｋｍ）２－１２（１＋３ｋ２）（ｍ２－１）＝１２（３ｋ２＋１－ｍ２）＞０，－６ｋｍ３（ｍ２－１）由韦达定理得ｘ＋ｘ＝，ｘｘ＝，!!!!!!!!!!!６分１２１＋３ｋ２１２１＋３ｋ２２ｍ所以ｙ＋ｙ＝ｋ（ｘ＋ｘ）＋２ｍ＝，１２１２１＋３ｋ２６ｋｍ２ｍ所以ｐ＝－（ｘ＋ｘ）