安徽省蚌埠市2023届高三下学期第三次教学质量检查考试数学试题

蚌埠市２０２３届高三年级第三次教学质量检查考试数 学本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．１设集合Ａ＝{－１，０，２，３，５}，Ｂ＝{ｘｙ＝槡（３－ｘ）（ｘ＋１）}，则Ａ∩Ｂ＝Ａ｛０，２｝Ｂ｛－１，０，２，３｝Ｃ｛５｝Ｄ｛－１，３，５｝２已知ｉ为虚数单位，复数ｚ满足ｚ（１－ｉ）２＝２，则ｚ２０２３＝Ａ－１Ｂ１Ｃ－ｉＤｉπ３已知ｔａｎα＋＝３，则ｔａｎα＝(４)１１Ａ－２Ｂ－ＣＤ２２２４直线ｌ：ｘ＋ｍｙ＋１－ｍ＝０与圆Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ－２）２＝９的位置关系是Ａ相交Ｂ相切Ｃ相离Ｄ无法确定５已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了１０％的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为Ａ５０％Ｂ３２％Ｃ３０％Ｄ２７％ｘ２ｙ２６６若椭圆Ｃ：＋＝１的离心率为槡，则椭圆Ｃ的长轴长为ｍ２３２６Ａ６Ｂ槡或２６Ｃ２６Ｄ２２或２６３槡槡槡槡蚌埠市高三年级数学试卷第１页（共４页）书ｅｘ－１７函数ｆ（ｘ）＝·ｃｏｓｘ的图象大致为ｅｘ＋１→→２π８在△ＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ上一点，且ＢＤ＝３ＤＣ，∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＤ，∠ＢＡＤ＝，则ｔａｎ∠ＡＢＣ＝３３９１３３３Ａ槡Ｂ槡Ｃ槡Ｄ槡１３３３５二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得５分，有选错的得０分，部分选对的得２分．９．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，等比数列｛ｂｎ｝的前ｎ项积为Ｔｎ，则下列结论正确的是ＳＡ数列ｎ是等差数列Ｂ数列｛Ｓ－Ｓ｝是等差数列{ｎ}２ｎ＋２２ｎＴＣ数列２ｎ＋２是等比数列Ｄ数列｛１ｇＴ｝是等差数列{Ｔ}ｎ２ｎ２１０．已知Ｆ是抛物线ｙ＝４ｘ的焦点，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是Ａ若ｘ１＋ｘ２＝６，那么｜ＡＢ｜＝８１Ｂ若｜ＡＦ｜＋｜ＢＦ｜＝３，则线段ＡＢ的中点到ｙ轴的距离为２Ｃ若△ＦＡＢ是以Ｆ为直角顶点的等腰三角形，则｜ＡＢ｜＝４槡２±４→→Ｄ若ＡＦ＝２ＦＢ，则直线ＡＢ的斜率为±２槡２１１．已知ＡＢ为圆锥ＳＯ底面圆Ｏ的直径，点Ｃ是圆Ｏ上异于Ａ，Ｂ的一点，Ｅ为ＳＡ的中点，ＳＡ＝５，圆锥ＳＯ的侧面积为１５π，则下列说法正确的是Ａ圆Ｏ上存在点Ｆ使ＥＦ∥平面ＳＢＣＢ圆Ｏ上存在点Ｆ使ＡＦ⊥平面ＳＢＣ６２５πＣ圆锥ＳＯ的外接球表面积为３２Ｄ棱长为槡６的正四面体在圆锥ＳＯ内可以任意转动１２．已知ａ＞ｂ＞１，则下列结论正确的是ａｌｎａｌｎ（ｂ＋１）ａａｂＡｅａ－ｂ＞Ｂ＞Ｃｌｏｇ（ａ＋１）＞ｌｏｇ（ｂ ＋ １） Ｄ＞ｂａｂ＋１ａｂｂｂａ蚌埠市高三年级数学试卷第２页（共４页）三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．１３．已知ａ＝（１，２），ｂ＝（２，ｍ），ａ⊥（ａ－３ｂ），则ｍ＝．３４２３４１４．已知（２ｘ－１）－（ｘ＋２）＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ＋ａ３ｘ＋ａ４ｘ，则ａ０＋ａ２＋ａ４＝．１１１５．已知实数ａ＞０＞ｂ，且ａ－ｂ＝５，则＋的最小值为．ａ＋１２－ｂ１６．已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋２）＝－ｆ（ｘ），且当－１≤ｘ≤０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１－ｍ，１则当０＜ｘ≤１时，ｆ（ｘ）＝；若对ｘ∈［０，１］都有ｆ－ｘ２＋２ｔｘ＋≥２－２，则实(４)槡数ｔ的取值范围为．四、解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．１７．（本小题满分１０分）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各１００名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生４０女生３０合计（１）根据所给数据完成上表，依据α＝０．００１的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？（２）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了２名男生和１名女生示范点球射门．已知这２１两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门３２相互独立，求３人进球总次数Ｘ的分布列和数学期望．ｎ（ａｄ－ｂｃ）２附：χ２＝（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）α０．１０．０５０．０１０．００５０．００１ｘα２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．（本小题满分１２分）１已知函数ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋ｃｏｓ２ωｘ－（ω＞０）．槡２（１）若ω＝１，求函数ｆ（ｘ）的最小正周期；ππ（２）若ｙ＝ｆ（ｘ）图象在０，内有且仅有一条对称轴，求ｆ的取值范围．(４)(８)蚌埠市高三年级数学试卷第３页（共４页）１９．（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝１，ａ２ｎ＋１＝ａ２ｎ＋１，ａ２ｎ＝２ａ２ｎ－１．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；１１１（２）设Ｔｎ＝＋＋…＋，求证：Ｔ２ｎ＜３．ａ１ａ２ａｎ２０．（本小题满分１２分）如图，在四面体ＡＢＣＤ中，Ｇ为△ＡＢＣ的重心，Ｅ，Ｆ分别在棱ＢＣ，ＣＤ上，平面ＡＢＤ∥平面ＥＦＧＤＦ（１）求的值；ＣＦ（２）若ＡＢ⊥平面ＢＣＤ，ＤＣ⊥ＣＢ，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝３，求平面ＥＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角的大小第２０题图２１．（本小题满分１２分）ｘ２已知Ａ，Ｂ是双曲线Ｅ：－ｙ２＝１的左、右顶点，Ｍ为双曲线上与Ａ，Ｂ不重合的点．４（１）设直线ＭＡ，ＭＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，求证：ｋ·１ｋ２是定值；→→（２）设直线ｌ：ｘ＝１与直线ＭＡ交于点Ｐ，ｌ与ｘ轴交于点Ｓ，点Ｑ满足ＱＳ＝２ＳＰ，直线ＢＱ与双曲线Ｅ交于点Ｎ（与Ａ，Ｂ，Ｍ不重合）．判断直线ＭＮ是否过定点，若直线ＭＮ过定点，求出该定点坐标；若直线ＭＮ不过定点，请说明理由．２２．（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１，ｇ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ａ），ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝１，求证：ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）；（２）若函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｘ）存在两条公切线，求实数ａ的取值范围．蚌埠市高三年级数学试卷第４页（共４页）蚌埠市２０２３届高三年级第三次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准一、二、选择题：题 号１２３４５６７８９１０１１１２答 案ＢＣＣＡＤＤＡＤＡＢＣＢＣＤＡＤＡＤ三、填空题１１１１３１３－ １４－５４ １５ １６－２１－ｘ＋２（２分）；［，］（３分）６２８８四、解答题１７（１）２×２列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生６０４０１００女生３０７０１００合计９０１１０２００………………………………………………………………………………………（２分）零假设为Ｈ０：该校学生喜欢足球与性别无关联．根据列联表中的数据，经计算得到２００×（６０×７０－４０×３０）２χ２＝≈１８．１８２＞１０．８２８＝ｘ１００×１００×９０×１１００．００１根据小概率值α＝０．００１的独立性检验，推断Ｈ０不成立，即认为该校学生喜欢足球与性别有关．…………………………………………………………………………（５分）（２）依题意Ｘ的所有可能取值为０，１，２，３，１２１１Ｐ（Ｘ＝０）＝×＝，(３)２１８２１１１１２５Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１×××＋×＝，２３３２２(３)１８２１１２２１４Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ１×××＋×＝，２３３２(３)２９２２１２Ｐ（Ｘ＝３）＝×＝．(３)２９∴Ｘ的分布列如下：Ｘ０１２３１５４２Ｐ１８１８９９………………………………………………………………………………………（８分）１５４２１１∴Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）＝０×＋１×＋２×＋３×＝………………（１０分）１８１８９９６蚌埠市高三年级数学参考答案第１页（共５页）２１３１π１８（１）因为ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎωｘｃｏｓωｘ＋ｃｏｓωｘ－＝槡ｓｉｎ２ωｘ＋ｃｏｓ２ωｘ＝ｓｉｎ２ωｘ＋，槡２２２(６)………………………………………………………………………………………（３分）２π所以函数ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ＝＝π．………………………………………（５分）２ωππππ（２）由２ωｘ＋∈，ω＋，６(６２６)π因为函数ｆ（ｘ）图象在０，内有且仅有一条对称轴，(４)πππ３π２８所以＜ω＋≤，即＜ω≤，…………………………………………（９分）２２６２３３πππ５π所以＜ω＋≤，３４６６πππ１所以ｆ＝ｓｉｎω＋∈，１．……………………………………………１２分(８)(４６)[２]１９（１）由题意ａ２ｎ＋１＝ａ２ｎ＋１＝２ａ２ｎ－１＋１，所以ａ２ｎ＋１＋１＝２（ａ２ｎ－１＋１），因为ａ１＋１＝２≠０，所以数列｛ａ２ｎ－１＋１｝是首项为２，公比为２的等比数列，…（２分）ｎｎ所以ａ２ｎ－１＋１＝２，即ａ２ｎ－１＝２－１，ｎ＋１而ａ２ｎ＝２ａ２ｎ－１＝２－２，…………………………………………………………（４分）ｎ＋１２２－１，ｎ为奇数，所以ａｎ＝ｎ……………………………………………………（６分）{２２＋１－２，ｎ为偶数．（２）方法一：ｎ１１３ｎ１３ｎ２ｉ＋１－１由（１）Ｔ２ｎ＝∑＋＝∑ｉ＝∑ｉｉ＋１………………（８分）ｉ＝１(ａａ)２ｉ＝１２ｉ＝１２ｉ－１２ｉ２－１（２－１）（２－１）３ｎ２ｉ＋１ｎ２ｉ＜∑ｉｉ＋１＝３∑ｉｉ＋１…………………（１０分）２ｉ＝１（２－１）（２－１）ｉ＝１（２－１）（２－１）ｎ１１１＝３∑ｉ－ｉ＋１＝３１－ｎ＋１＜３．………………………（１２分）ｉ＝１(２－１２－１)(２－１)方法二：∵２ｎ－１≥２ｎ－１（ｎ∈Ｎ），……………………………………………………………８分ｎ１１３ｎ１３ｎ１１∴Ｔ２ｎ＝∑＋＝∑ｉ≤∑ｉ－１＝３１－ｎ＜３．………………（１２分）ｉ＝１(ａａ)２ｉ＝１２ｉ＝１(２)２ｉ－１２ｉ２－１２２０（１）解：延长ＣＧ交ＡＢ于点Ｈ，连接ＣＨ，ＤＨ，ＣＧ２因为Ｇ为△ＡＢＣ的重心，所以Ｈ为ＡＢ的中点，且＝，……………………（２分）ＣＨ３因为平面ＡＢＤ∥平面ＥＦＧ，平面ＡＢＤ∩平面ＤＣＨ＝ＤＨ，平面ＥＦＧ∩平面ＤＣＨ＝ＦＧ，所以ＦＧ∥ＤＨ，……………………………………………………………………（４分）ＣＦＣＧ２ＤＦ１所以＝＝，所以＝．…………………………………………………（５分）ＣＤＣＨ３ＣＦ２（２）解：因为ＡＢ⊥平面ＢＣＤ，ＢＣ，ＣＤ平面ＢＣＤ，所以ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ⊥ＣＤ，蚌埠市高三年级数学参考答案第２页（共５页）因为ＣＤ⊥ＣＢ，ＣＤ⊥ＡＢ，ＢＣ∩ＡＢ＝Ｂ，ＢＣ，ＡＢ平面ＡＢＣ，所以ＣＤ⊥平面ＡＢＣ，………………………………………………………………………………………（７分）如图，以ＢＡ为ｘ轴，ＢＣ为ｙ轴，过Ｂ与ＣＤ平行的直线为ｚ轴，建立空间直角坐标系，方法一：ＣＦＣＥ２由（１）同理可得ＥＦ∥ＢＤ，则＝＝，ＣＤＣＢ３所以Ａ（３，０，０），Ｆ（０，３，２），Ｅ（０，１，０），Ｇ（１，１，０），Ｃ（０，３，０），Ｄ（０，３，３），第２０题答案图→→→→所以ＧＦ＝（－１，２，２），ＧＥ＝（－１，０，０），ＣＤ＝（０，０，３），ＣＡ＝（３，－３，０）．……（８分）→ｍ·ＧＦ＝－ａ＋２ｂ＋２ｃ＝０，设平面ＥＦＧ的法向量为ｍ＝（ａ，ｂ，ｃ），则→{ｍ·ＧＥ＝－ａ＝０，令ｂ＝１，则ａ＝０，ｃ＝－１，则ｍ＝（０，１，－１），→ｎ·ＣＤ＝３ｚ＝０，设平面ＡＣＤ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则→{ｎ·ＣＡ＝３ｘ－３ｙ＝０，令ｘ＝１，则ｙ＝１，ｚ＝０，则ｎ＝（１，１，０），…………………………………………（１０分）｜ｎ·ｍ｜１１设平面ＥＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝＝＝，｜ｎ｜·｜ｍ｜槡２×槡２２π所以平面ＥＦＧ与平面ＡＣＤ的夹角的大小为．………………………………（１２分）３方法二：易知Ａ（３，０，０），Ｃ（０，３，０），Ｄ（０