2023届天津市十二区重点中学高三毕业班联考（一）数学试题

2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷选择题（共50分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应的答案标号涂黑.参考公式：·如果事件、互斥，那么·柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数在其定义域上的图像大致是（）A. B.C. D.4.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中的值为0.004B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在内的学生人数为1505.已知是偶函数，且当时，单调递减，设，，，则，，大小关系为（）A. B.C. D.6.如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）.已知，则该组合体的体积等于（）A. B. C. D.7.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分別相交于、、、四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.8.已知函数，以下说法中，正确的是（）①函数关于点对称；②函数在上单调递增；③当吋，的取值范围为；④将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解折式为.A.①② B.②③④ C.①③ D.②9.如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向提的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷非选择题（共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）10.设复数满足（为虚数单位），则的值为______.11.二项式的展开式中含的系数为______.12.已知圆经过点和点，圆心在直线上，则圆的方程为______.13.袋子中装有个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为______，若从中任取3个球，用表示取出3球中黑球的个数，则随机变量的数学期望______.14已知，，且，则的最小值为______.15.定义函数，设，若㤷有3个不同的实数拫，则实数的取值范围是______.三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在中，内角、、的对边分別为、、，已知.（1）求角的大小；（2）设，，求和的值.17.（本小题满分15分）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分15分）已知椭圆：（）的右焦点为点，、分别为椭圆的上、下顶点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的.（1）求椭圆的离心率；（2）过点且斜率为（）的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点，过点且与平行的直线截椭圆所得弦长为，求椭圆的标准方程.19.（本小题满分15分）已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，.（1）求数列和的通项公式；（2）记，，求数列的前项和；（3）记，求.20.（本小题满分16）已知函数.（注：是自然对数的底数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）求证：在区间内有唯一的零点，且.2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案一、选择题：每小题5分，满分45分题号123456789答案CACDBABDD二、填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）10.11.12.13.2；14.15.或三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）解：因为，所以…………2分所以，因为，所以，所以…………4分又，所以；…………5分（2）在中，由余弦定理及，，，有，故.…………8分由正弦定理，可得.因为，故.…………10分因此，.…………12分所以，.…………14分17.（本小题满分15分）（1）方法一：分别取，的中点，，连接，，，…………1分由题意可知：点、分别为线段、的中点.所以，，因为，所以，所以点，，，四点共面，因为，分别为，的中点，所以，平面，平面，所以平面，…………3分又因为，平面，平面，所以平面，…………4分又因为，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.…………5分方法二：因为为正方形，且平面，所以，，两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，…………1分则，，，，，…………3分（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）所以，，，易知平面的一个法向量，所以，所以，……………….4分又因为平面，所以平面.…………5分（2）设平面的法向量，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为，…………6分易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角余弦值为…………8分（设角和作答具备其一即可，均不写扣1分）（3）假设存在点，，，设，所以，………….9分所以所以…………10分由（2）得平面的一个法向量为，，…………12分得.即，…………13分或，…………14分或.…………15分18.（本小题满分15分）（1）由直角三角形面积关系得，即解得…………3分（2）由（1）得，，易得，，直线的方程为，因为直线不过右顶点，所以，…………4分，得，…………6分从而，…………8分直线的斜率为…………9分故直线的方程为…………10分令，得，…………11分直线的斜率…………12分，左顶点，，即，解得，，.…………14分椭圆的标准方程为…………15分19.（本小题满分15分）【详解】（1）因，数列是公差为等差数列，且，，解得，；…………2分设等比数列的公比为（），因为，，，即，解得（舍去）或，…………4分（2）由（1）得…………5分…………6分，…………8分（3）…………9分…………10分（1）（2）（1）－（2）：…………12分方法二：①当为偶数时，，…………13分②当为奇数时，…………14分…………15分20.（本小题满分16分）解：（1），求导，切线的斜率，又，所以切点为，所以，切线方程为…………4分（2）（ⅰ）求导，①当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；…………6分②当时，求二阶导，所以在上递增，又，，所以在上有唯一零点，…………8分当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意，综上，的取值范围是.…………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，…………10分当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以时，，则，又因为，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.…………12分因为，由（ⅰ）知，所以，则，…………13分设，，则，，，所以在为单调递增，又，所以，又时，，所以.所以.由前面讨论知，，在单调递增，所以.…………16分