2023届北京市西城区高三一模数学试题（原卷版）

西城区高三统一测试试卷数学2023.3本试卷共6页，150分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.3.设，，，则（）A. B.C. D.4.在的展开式中，的系数为（）A. B.C. D.5.已知为所在平面内一点，，则（）A. B.C D.6.函数是（）A.奇函数，且最小值为 B.奇函数，且最大值为C.偶函数，且最小值为 D.偶函数，且最大值为7.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A. B.C. D.9.设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.10.名学生参加某次测试，测试由道题组成．若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（）A. B.C D.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11复数，则__________________.12.已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则____．13.已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则____；的最小值为____．14.设，其中．当时，____；当时，的一个取值为____．15.如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：①的最小值为；②四面体的体积为；③有且仅有一条直线与垂直；④存在点，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在中，，，平分交于点，．（1）求的值；（2）求的面积．17.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：男生女生假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项优秀率；（2）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；（3）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）18.如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题（1）求证：为的中点；（2）求二面角的余弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：在上单调递增；（3）判断与的大小关系，并加以证明．20.已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设中点为，射线交椭圆于点．（1）当直线与轴垂直时，求直线的方程；（2）求的取值范围．21.给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．（1）判断集合是否具有性质？说明理由；（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：．