2023届江苏省南京师范大学附属中学高三一模适应性考试数学试题

江苏南师大附中2022—2023学年高三一模适应性考试数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，且，其中是虚数单位，则等于（）A.5 B. C. D.13.等比数列的前项和为，若，则公比的值为（）A. B.1C.或1 D.或14.下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（    ）A．28m B．20m C．31m D．22m5.已知实数，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.函数的定义域为R，且为偶函数，，若，则(    )A.1 B.2 C. D.7.已知的一条切线与f（x）有且仅有一个交点，则（）A.B.C.D.8.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知事件A，B满足，，则（）A.若，则 B.若A与B互斥，则C.若A与B相互独立，则 D.若，则A与B相互独立10.已知随机变量X的概率密度函数为，且的极大值点为，记，，则(    )A. B.C. D.11.下列说法中，其中正确的是()A.命题：“”的否定是“”B.化简的结果为2C.…D.在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.12.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是()A.是函数为偶函数的充分不必要条件；B.是函数为奇函数的充要条件；C.如果，那么为单调函数；D.如果，那么函数存在极值点.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点且与圆C：相切的直线方程为__________14. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是__________.15.已知直线，抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴对称的点为.若过点的圆与直线相切，且与直线交于点，则当时，直线的斜率为___________.16.三个元件，，独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题分)已知函数在一个周期内的图象如图所示．求函数的表达式；把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单位，再向左平移个单位，得到函数的图象，若，求函数的值域．18.(本小题12.0分)已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列．求，的通项公式；求的前n项和19.(本小题分)某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局，第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲、乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立.求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.20.(本小题分)如图，在四棱锥中，侧棱矩形ABCD，且，过棱PC的中点E，作交PB于点F，连接证明：若，平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值．21.(本小题分)已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由。22.本小题分已知函数，其中．（1）设函数，证明：①有且仅有一个极小值点；②记是的唯一极小值点，则；（2）若，直线与曲线相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线的方程．数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.D.2.B3.C4.D【解析】因为，所以，因为，所以∽，所以，所以，因为，，所以，设，分别为的中点，因为，所以，所以为的中点，因为，，所以，所以，所以，所以5.A【详解】根据题意，设直线：，设点那么点到直线的距离为：，因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以，当时，，所以，即，因为，所以，6.A 【解答】方法一（特殊化））解：为偶函数，则关于对称，取关于对称，，，即满足条件，方法二（略）7.A【详解】设切点为，，，所以切线方程为，由，得，整理得，切线与f（x）的图象有且仅有一个交点，所以，，所以切线方程为，所以，  8.C【解析】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为所以，.设，则.所以.令，则，因为，所以.故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.9.BD【详解】解：对于A，因为，，，所以，故错误；对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；对于C，因为，所以，所以，故错误；对于D，因为，即，所以，又因为，所以，所以A与B相互独立，故正确.10.BCD 解：对于A，由随机变量X的概率密度函数为可得，所以随机变量X服从正态分布，，故A错误；对于B，因为二次函数在上单调递增，在上单调递减，由函数在R上单调递增，根据复合函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值点为，所以，所以随机变量X服从正态分布，，故B正确；对于C，因为，，又，所以，即，故C正确；对于D，因为，，所以，故D正确.11.BCD 解：存在量词命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，命题：“”的否定是“”，故选A错故B正确；…，故C正确；.如图所示，由，，得,由是的中点，，解得，又，所以，得，又，平面，所以平面.设球心为，点到底面的距离为，由正弦定理得的外接圆半径，在三角形中，球的半径，所以三棱锥的外接球的体积为.故D正确；12.BCD；【解析】对于A当时，函数定义域为R关于原点对称，故函数为偶函数，当函数为偶函数时，故，又因为定义域为R，所以不为，故所以是函数为偶函数的充要条件，故①错误.对于B当时，函数定义域为R关于原点对称，故函数为奇函数当函数为奇函数时，因为，故.所以是函数为奇函数的充要条件，故②正确.对于C因为若则恒成立，则为单调递增函数，若则恒成立，则为单调递减函数，故，函数为单调函数，故③正确.对于D，令得，又因为若当，，函数为单调递减.当，，函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.若当，，函数为单调递增.当，，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故④正确.故答案为：BCD；13．或 解：将圆C方程化为圆的标准方程，得圆心，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆C的切线，满足题意；当过点的直线斜率存在时，可设直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，即此直线方程为，故答案为：或 . 14. 28【解析】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①，此时共有种情况；最大数为4的情况：②，此时共有种情况；③，此时共有种情况．当最大数为3时，，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组的个数是．15.【详解】如图，易知过点且与直线相切的圆就是以为直径的圆，设，则，由有，设直线的方程为，代入有，所以，结合，得.故答案为: 16.【详解】由题意，元件，，不正常工作的概率分别为，，电路正常工作的条件为正常工作，，中至少有一个正常工作，（1）若，，接入元件为，，或，，，则此电路正常工作的概率是；（2）若，，接入的元件为，，或，，，则此电路正常工作的概率是；（3）若，，接入的元件为，，或，，，则此电路正常工作的概率是因为，所以，所以此电路正常工作的最大概率是.故答案为：  17解：根据函数图象可得，，， ，，得，，3分又，，，，，又，，；6分把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到，再向下平移一个单位得到，再向左平移个单位得到，9分 ，当时， ，，，即值域为 12分18.解：由题意可得：，4分，，，数列单调递增，6分，，，时，，时，；时，；时，……… 12分19.解：设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，则3分记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B，C，D，则，，，9分故在乙最后晋级决赛的前提下，乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为 12分20.证明：因为矩形ABCD，所以，由底面ABCD为长方形，有，而，所以平面而平面，所以又因为，点E是PC的中点，所以而，所以平面而平面，所以又，，所以平面所以得证．4分如图，以D为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．5分因为，设，则，，点E是PC的中点，所以，由平面，所以是平面ABCD的一个法向量；6分由知，平面，所以是平面DEF的一个法向量．8分若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，则，解得10分所以，12分21（1）设双曲线C的方程为，由题意知，∴双曲线C的方程为3分（2）设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1），则，，5分∴直线PA方程为，令，则，同理N（0，），7分由，可得∴∴∴∴∴∴，10分当时，，此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．12分22.公众号：网课来了【详解】（1）①依题意，，求导得：，令，则，函数即在R上单调递增，又，则存在，使得，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以为的唯一极小值点．3分②由①知，，即，，则，因此，要证，只需证，即证，因为，从而只需证，即，而，所以.7分（2）依题意，，求导得：，则函数在点处的切线l的方程为，若直线l恰好与曲线相切且有无穷多个切点，任取两个不同的切点，则在此两点处的切线为同一直线，即，于是有，则或，若，从而得：，显然，则，若，取异于A，B外的另一个切点，则有，，如果，则有，如果，则，因此，从而恒有，即，于是得直线l的方程为或，当切线方程为时，切点为，当切线方程为时，切点为，所以直线l的方程为或．12分