高三文科数学参考答案

２０２２－２０２３下学年高三年级ＴＯＰ二十名校四月冲刺考（一）高三文科数学参考答案１．【答案】 Ｂ【解析】 Ａ＝{ｘ｜ｘ（ｘ－２）＜０}＝{ｘ｜０＜ｘ＜２}，则Ａ∩Ｂ＝{１}．故选Ｂ．２．【答案】 Ｄ【解析】 设复数ｚ，－ｉ，ｉ在复平面内对应的点分别为Ｚ（ｘ，ｙ），Ａ（０，－１），Ｂ（０，１），则｜ｚ＋ｉ｜＝｜ｚ－ｉ｜的几何意义是Ｚ到Ａ的距离和Ｚ到Ｂ的距离相等，则ｚ在复平面内对应的点（ｘ，ｙ）满足ｙ＝０．故选Ｄ．３．【答案】 Ａπππｋπ【解析】 ｙ＝ｃｏｓ２ｘ－＝ｓｉｎ２ｘ．令ｓｉｎ２ｘ＝±１，则２ｘ＝＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），即ｘ＝＋（ｋ∈Ｚ），故对(２)２４２π称轴可以是直线ｘ＝．故选Ａ．４４．【答案】 Ｃ１ｚｚ【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，当直线ｙ＝－ｘ＋经过点Ａ（０，２）时，纵截距最２２２大，此时ｚｍａｘ＝０＋２×２＝４．故选Ｃ．５．【答案】 Ｂ１１【解析】 当ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）＝；当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＝－．设ｘ＜１，ｘ＞１，因为曲线ｆ（ｘ）在点Ａ，Ｂｘｘ１２１１处的两条切线互相垂直，所以－·＝－１，则ｘ１ｘ２＝１．故选Ｂ．ｘ１ｘ２６．【答案】 Ｄ【解析】 由函数模型Ｕ（ｔ）＝－Ｕ０ｌｎＫｔ，当ｔ＝５０时，Ｕ（ｔ）＝１５，可得１５＝－２０ｌｎ（５０Ｋ），即１５＝－２０ｌｎ５０－２０ｌｎＫ①．设血液尿酸浓度达到正常值７时，摄入天数为ｔ′，则７＝－２０ｌｎ（ｔ′Ｋ），即７＝－ｔ′ｔ′２ｔ′２２２０ｌｎｔ′－２０ｌｎＫ②，②－①，得－８＝－２０ｌｎ，即ｌｎ＝，则＝ｅ５，ｔ′＝５０ｅ５≈７４．５．故选Ｄ．５０５０５５０７．【答案】 Ａ（－ｘ）２ｓｉｎ（－２ｘ）ｘ２ｓｉｎ２ｘ【解析】 对于选项Ｂ，ｆ（－ｘ）＝＝＝ｆ（ｘ），为偶函数，排除Ｂ；对于选项ｅ－ｘ－ｅｘｅｘ－ｅ－ｘ－ｘｃｏｓ（－２ｘ）ｘｃｏｓ２ｘｃｏｓ２Ｃ，ｆ（－ｘ）＝＝＝ｆ（ｘ），为偶函数，排除Ｃ；对于选项Ｄ，当ｘ＝１时，ｆ（１）＝＜－ｘ－ｘｘ－－ｘ１ｅｅｅｅｅ－ｅ【高三文科数学参考答案 （第 １页 共８页）】书０，排除Ｄ．故选Ａ．８．【答案】 Ａ２３【解析】 由Ａ（３，２３）在ｙ２＝２ｐｘ上，得１２＝２ｐ×３，解得ｐ＝２，则Ｆ（１，０），直线ＡＦ的斜率ｋ＝槡槡３－１＝槡３，倾斜角为６０°．如图，过点Ａ作ｌ的垂线，垂足为Ｈ．由抛物线的定义可知｜ＡＦ｜＝｜ＡＨ｜．在Ｒｔ△ＡＨＢ中，∠ＢＡＨ＝６０°，∴｜ＡＢ｜＝２｜ＡＨ｜，∴｜ＢＦ｜＝｜ＡＢ｜－｜ＡＦ｜＝｜ＡＨ｜，∴｜ＡＦ｜＝｜ＢＦ｜．故选Ａ．９．【答案】 Ｄ【解析】 在△Ａ１ＢＣ１中，因为Ｍ，Ｎ分别为Ａ１Ｂ，Ａ１Ｃ１的中点，所以ＭＮ∥ＢＣ１，又ＢＣ１∥ＡＤ１，所以ＭＮ∥ＡＤ１，Ａ选项正确；同理，ＭＰ∥ＢＤ，ＭＮ∥ＢＣ１，则ＭＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，ＭＮ∥平面ＢＣ１Ｄ，所以平面ＭＮＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，Ｂ选项正确；因为ＭＮ∥ＡＤ１，ＡＤ１⊥ＣＤ，所以ＭＮ⊥ＣＤ，Ｃ选项正确；取ＢＤ的中点Ｅ，则∠Ａ１ＥＣ１即为二面角Ａ１－ＢＤ－Ｃ１的平面角，易知∠Ａ１ＥＣ１≠９０°，则平面Ａ１ＢＤ与平面ＢＣ１Ｄ不垂直，又平面ＭＮＰ∥平面ＢＣ１Ｄ，故平面ＭＮＰ与平面Ａ１ＢＤ不垂直，Ｄ选项错误．故选Ｄ．１０．【答案】 Ｄ【解析】 在△ＡＢＣ中，｜ＡＣ｜＝｜ＢＣ｜＝槡５，如图，当公共弦ＡＢ最大，即ＡＢ为圆Ｃ′的直径时，２２∠ＡＣＢ最大，此时在Ｒｔ△ＣＣ′Ａ中，｜ＡＣ｜＝槡５，｜ＡＣ′｜＝１，｜ＣＣ′｜＝槡｜ＡＣ｜－｜ＡＣ′｜＝２．故选Ｄ．１１．【答案】 Ｂ【解析】 由ａ１＝１，ａ４＝４，ａ２是ａ１与ａ４的等比中项，可知ａ２＝±２．若ａ２＝２，由ａ１＝ａ５＝１，可知ａ６＝２，由ａ３＝－３，可知ａ７＝－３，则ａ８＝ａ４＝４，则数列{ａｎ}：１，２，－３，４，１，２，－３，４，…，是以４为周期的数列，易知前ｎ项和无最大值．若ａ２＝－２，同理可得数列{ａｎ}：１，－２，－３，４，１，－２，－３，４，…，则数列{Ｓｎ}是以４为周期的数列，且Ｓ１＝１，Ｓ２＝－１，Ｓ３＝－４，Ｓ４＝０，所以Ｓｎ的最大值Ｓ＝１．故选Ｂ．１２．【答案】 Ｄ２２２【解析】 如图，将圆台Ｏ１Ｏ补成圆锥ＰＯ．设圆台Ｏ１Ｏ的母线长为ｌ，则ｌ＝ｈ＋（Ｒ－ｒ），等腰梯ｒｘｒｌ形ＡＢＣＤ为过两母线的截面．设ＰＣ＝ｘ，∠ＡＰＢ＝θ，由＝，得ｘ＝，则Ｓ＝Ｓ－ＳＲｘ＋ｌＲ－ｒ△ＰＡＢ△ＰＣＤ【高三文科数学参考答案 （第 ２页 共８页）】１Ｒ＋ｒ＝［（ｘ＋ｌ）２－ｘ２］ｓｉｎθ＝ｌ２ｓｉｎθ．当ｈ≥Ｒ－ｒ时，θ≤９０°，当ｓｉｎθ最大，即截面为轴截面时２２（Ｒ－ｒ）面积最大，则Ｓ的最大值为（Ｒ＋ｒ）ｈ．当ｈ＜Ｒ－ｒ时，θ＞９０°，当ｓｉｎθ＝１时，截面面积最大，则Ｓ的Ｒ＋ｒ（Ｒ＋ｒ）［ｈ２＋（Ｒ－ｒ）２］最大值为ｌ２＝．故选Ｄ．２（Ｒ－ｒ）２（Ｒ－ｒ）１３．【答案】 （１，－１）（答案不唯一，横、纵坐标互为相反数即可）【解析】 由题意可知ａ－ｂ＝（３，３），设ｃ＝（ｘ，ｙ），则３ｘ＋３ｙ＝０，取ｘ＝１，则ｙ＝－１，则与ａ－ｂ垂直的非零向量可以为ｃ＝（１，－１）．７１４．【答案】 １０【解析】 设５处水样监测点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，从中随机选择３处有ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，ＡＣＤ，ＡＣＥ，ＡＤＥ，ＢＣＤ，ＢＣＥ，ＢＤＥ，ＣＤＥ，共１０种情况，其中Ａ，Ｂ同时入选的有ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，共３３７种情况，故Ａ，Ｂ不同时入选的概率Ｐ＝１－＝．１０１０１５．【答案】 １【解析】 由（槡２ａ－ｂ）ｔａｎＢ＝ｂｔａｎＣ和正弦定理，得（槡２ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）ｔａｎＢ＝ｓｉｎＢｔａｎＣ，ｓｉｎＢｓｉｎＣ则有（２ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢ）＝ｓｉｎＢ，整理，得２ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ｂ＋槡ｃｏｓＢｃｏｓＣ槡２πππＣ）＝ｓｉｎＡ，则ｃｏｓＣ＝槡，∴Ｃ＝．又∵ａ＝２ｃ，∴ｓｉｎＡ＝２ｓｉｎＣ＝１，∴Ａ＝，∴Ｂ＝，∴ｂ＝ｃ，２４槡槡２４ｂ∴＝１．ｃ１０１６．【答案】 槡３ｙ＝ｘ＋ａ，【解析】 不妨设点Ｐ在第二象限，直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｘ＋ａ，联立ｂ得点Ｐ的纵坐ｙ＝－ｘ，{ａｙ＝ｘ＋ａ，ａｂａｂ标ｙＰ＝；联立ｂ得点Ｑ的纵坐标ｙＱ＝．由Ａ为ＰＱ的三等分点，可知ｙＱ＝－２ｙＰ，则ａ＋ｂｙ＝ｘ，ｂ－ａ{ａａｂ２ａｂｃ１０有＝－，整理，得ａ＝３ｂ，则ａ２＝９（ｃ２－ａ２），故Ｃ的离心率ｅ＝＝槡．ｂ－ａａ＋ｂａ３【高三文科数学参考答案 （第 ３页 共８页）】１７．【答案】 见解析【解析】 （１）设数列{ｂｎ}的公差为ｄ，由ｂ２＋ｂ３＝－１２，得２ｂ１＋３ｄ＝－１２，由ｂ１＝－３，得ｄ＝－２，故ｂｎ＝－２ｎ－１，即ａｎ＋ａｎ＋１＝－２ｎ－１．①………………………………………………………………………（３分）递推，得ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝－２ｎ－３，②①－②，得ａｎ－ａｎ＋２＝２，故ａｎ－ａｎ＋２＝２得证．…………………………………………………………………………（６分）（２）法一：若{ａｎ}为等差数列，设公差为ｄ′，由ａｎ＋２－ａｎ＝－２，可得２ｄ′＝－２，则ｄ′＝－１．又∵ａｎ＋ａｎ＋１＝－２ｎ－１，∴２ａｎ＋ｄ′＝－２ｎ－１，∴ａｎ＝－ｎ，（－１－ｎ）ｎｎ２ｎ∴ａ＝－１，∴{ａ}的前ｎ项和Ｓ＝＝－－．１ｎｎ２２２法二：由ａｎ＋ａｎ＋１＝－２ｎ－１，可知ａ２＝－ａ１－３．由ａｎ＋２－ａｎ＝－２，可知ａ３＝ａ１－２．又∵{ａｎ}为等差数列，∴ａ１＋ａ３＝２ａ２，即ａ１＋（ａ１－２）＝２（－ａ１－３），解得ａ１＝－１，…………………………………………………（９分）ｎ（ｎ－１）ｎ２ｎ则有ｄ′＝－１，{ａ}的前ｎ项和Ｓ＝－ｎ＋·（－１）＝－－．………………………（１２分）ｎｎ２２２１８．【答案】 见解析６＋１５＋２５＋３４５＋１０＋１５＋１９【解析】 （１）ｘ＝＝２０，ｙ＝＝１２．２５，……………………………（２分）４４４∑ｘｉｙｉ－４ｘｙｉ＝１１２０１－４×２０×１２．２５＾＝＝＝∴ｂ４０．５，…………………………………………（４分）２２２０４２－４×４００∑ｘｉ－４ｘｉ＝１∴ａ＾＝ｙ－ｂ＾ｘ＝１２．２５－０．５×２０＝２．２５，∴所求线性回归方程为ｙ＾＝０．５ｘ＋２．２５．……………………………………………………（６分）（２）当ｘ＝４４时，ｙ＾＝０．５×４４＋２．２５＝２４．２５，｜ｙ＾－ｙ｜＝｜２４．２５－２４｜＝０．２５≤１．……………………………………………………………（８分）当ｘ＝５４时，ｙ＾＝０．５×５４＋２．２５＝２９．２５，｜ｙ＾－ｙ｜＝｜２９．２５－３１｜＝１．７５＞１．……………………………………………………………（１０分）故不能用此回归方程估计该海域其他岛屿的植物种数．…………………………………（１２分）１９．【答案】 见解析【解析】 （１）如图，取ＢＤ的中点Ｆ，连接ＡＦ，ＣＦ，ＥＦ．∵∠ＢＣＤ＝９０°，ＢＦ＝ＤＦ，∴ＢＦ＝ＣＦ．又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＦ为公共边，∴△ＡＢＦ≌△ＡＣＦ，∴∠ＡＦＢ＝∠ＡＦＣ．……………………………………………………………………………（２分）【高三文科数学参考答案 （第 ４页 共８页）】同理，可得∠ＡＦＣ＝∠ＡＦＤ，∴∠ＡＦＢ＝∠ＡＦＤ．∵∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＤ＝１８０°，∴∠ＡＦＢ＝∠ＡＦＣ＝∠ＡＦＤ＝９０°，……………………………………………………………（４分）∴ＡＦ⊥ＢＤ，ＡＦ⊥ＣＦ．又∵ＢＤ∩ＣＦ＝Ｆ，∴ＡＦ⊥平面ＢＣＤ，∵ＡＦ平面ＡＢＤ，∴平面ＡＢＤ⊥平面ＢＣＤ．………………………………………………（５分）（２）在△ＢＤＥ中，∵∠ＢＥＤ＝９０°，Ｆ为ＢＤ的中点，１∴ＥＦ＝ＢＤ．２∵ＢＣ＝ＣＤ＝２，∠ＢＣＤ＝９０°，∴ＢＤ＝２槡２，∴ＥＦ＝槡２．在△ＡＣＦ中，∵∠ＡＦＣ＝９０°，Ｅ为ＡＣ的中点，∴ＡＣ＝２ＥＦ＝２槡２．在Ｒｔ△ＡＣＦ中，ＡＣ＝２槡２，ＣＦ＝槡２，则ＡＦ＝槡６，１１２６∴三棱锥Ａ－ＢＣＤ的体积Ｖ＝Ｓ·ＡＦ＝×２×６＝槡．………………………（８分）Ａ－ＢＣＤ３△ＢＣＤ３槡３由ＡＣ＝ＡＤ＝２槡２，ＣＤ＝２，可得△ＡＣＤ的面积Ｓ△ＡＣＤ＝槡７．设点Ｂ到平面ＡＣＤ的距离为ｄ，由ＶＢ－ＡＣＤ＝ＶＡ－ＢＣＤ，１２６２４２得Ｓ·ｄ＝槡，解得ｄ＝槡，３△ＡＣＤ３７２４２故点Ｂ到平面ＡＣＤ的距离为槡．………………………………………………………（１２分）７２０．【答案】 见解析【解析】 （１）不妨设点Ｐ在ｘ轴的上方，由椭圆的性质可知｜ＯＡ｜＝ａ．ａａ∵△ＡＰＯ是以Ｐ为直角顶点的等腰直角三角形，∴Ｐ－，，(２２)ａ２ａ２ｘ２ｙ２４４代入＋＝１，得＋＝１，整理，得ａ２＝３ｂ２．……………………………………………（２分）ａ２ｂ２ａ２ｂ２【高三文科数学参考答案 （第 ５页 共８页）】１ａ４∵△ＡＰＯ的面积为１，∴·ａ·＝１，∴ａ２＝４，∴ｂ２＝．２２３ｘ２３ｙ２故椭圆Ｃ的方程为＋＝１．………………………………………………………………（４分）４４（２）设直线ＡＭ的斜率为ｋ１，直线ＢＮ的斜率为ｋ２，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），直线ＭＮ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１．不妨设ｙ２＜０＜ｙ１，则ｋ１＝ｔａｎ∠ＭＡＢ，ｋ２＝ｔａｎ∠ＮＢＡ．ｘ＝ｍｙ＋１，联立可得（ｍ２＋３）ｙ２＋２ｍｙ－３＝０，{ｘ２＋３ｙ２＝４。２ｍ３Δ＝１６ｍ２＋３６＞０，则ｙ＋ｙ＝－，ｙｙ＝－，…………………………………………（６分）１２ｍ２＋３１２ｍ２＋３ｙ１＋ｙ２２ｍ∴＝，即２ｍｙ１ｙ２＝３（ｙ１＋ｙ２），ｙ１ｙ２３ｙ１ｋｘ＋２ｙｘ－２ｙ（ｍｙ－１）ｍｙｙ－ｙ∴１＝１＝１·２＝１２＝１２１ｋ２ｙ２ｘ１＋２ｙ２（ｍｙ１＋３）ｙ２ｍｙ１ｙ２＋３ｙ２ｘ２－２３１３（ｙ＋ｙ）－ｙｙ＋ｙ２１２１２１２２１＝＝＝，………………………………………………………（１０分）３３９３（ｙ＋ｙ）＋３ｙｙ＋ｙ２１２２２１２２∴３ｋ１＝ｋ２，故３ｔａｎ∠ＭＡＢ＝ｔａｎ∠ＮＢＡ得证．……………………………………………………………（１２分）２１．【答案】 见解析【解析】 （１）设ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ－２ａｘ＋１，ｇ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），１ｇ′（ｘ）＝－２ａ．………………………………………………………………