南宁市2023届高中毕业班第二次适应性测试理科数学试卷

南宁市2023届高中毕业班第二次适应性测试参考答案理科数学一、选择题1.C；2.B；3.B；4.B；5.D；6.C；7.A；8.D；9.A；10.D；11.A；12.D【12.详解】因为2,，所以cos2(1,0)，所以cos(cos2)0,sin(cos2)0，2可得ab.构造函数f(x)sinxx，则f(x)cosx10，所以fx()在R上单调递减，当x0时，f(x)f(0)0，所以sinxx，可知sin(cos2)cos2，即acos2，221又cos22cos11，ccos2ln(cos1)2cos11，又10,.所以cos1,1，3222114x1设函数g(x)lnx2x1，则g(x)4x，当x,1时，g(x)0，g(x)xx211111在,1上单调递减，则g(x)gln1ln20，可知22222ln(cos1)2cos2110，所以ccos2.综上，cab.二、填空题13.【答案】414.【答案】xy280或xy220（至少正112确写出一个方程）15.【答案】.16.【答案】22891112n【16.详解】当x,时，有12x4x(2x),2212x112n333则x363n31xxx,x1xxx1x31xx(12)x12x4x2(2x)n,则a为展开式中x9的系数，91xx3(12)x1(2)x8x3(2)x5x6(2)x2228x9,a2289.1三、解答题17.记Sn为各项均为正数的等比数列an的前n项和，S37且a3,3a2,a4成等差数列.（1）求an的通项公式；2（2）设bnanlog21an，求bn的前n项和Tn.解:(1)设数列an的首项为a1,公比为q,2则S3a11a2a3a17qq①…………………………1分aq1321【备注1】正确写出“a117qq”、“7”之一，给1分。1q23因为a3,3a2,a4成等差数列,则6a234=+aa即6a1qa1qa1q②………1分【备注2】正确写出“”、“”之一，给1分。故联立①②可得qq260,解得q2或q3(舍)……….………2分(4分)【备注3】正确写出“”、“”之一，可给2分。n1∴aa11,n2.……………………………………………….…..…2分(6分)n1【备注4】正确写出“an2”给2分.2nn1(2)由bnanlog21an得bn2n2n2………………………..……1分123n则Tnnb11b+b122232+n2①…………………1分(8分)234n1所以2Tnn1222322②…………………1分【备注5】写出能体现将①式两边同乘以2的方法,给1分.①－②得………………………………………………….……1分(10分)【备注6】正确写出“①－②”、“②－①”、“两式相减”之一，给1分。212n则T2122232nn2n1n2n12n12n2n1…1分n12【备注7】见“2122232n”、“n2n1”、“2nn112n2”之一，给1分。2n1∴Tnn(1)22……………………………………………………1分（12分）【备注8】正确写出“(n1)2n12”、“n2nn1122”之一，给1分。18.如图，在四棱锥PABMN中，PMN是边长为1的正三角形，面PMN面AMN,/ANBM，ANNP,AN2BM2,C为PA的中点.（1）求证:BC//平面PMN;（2）线段PA上是否存在点F，使二面角201FMNP的余弦值为，若存在，求PF.若不67存在，请说明理由。解：(1)证明:取PN中点E，连接CE和ME.……1分1∵C为PA中点，∴CE//AN且CEAN.………1分2【备注1】见“”给1分。1∵BM//AN且BMAN∴BM//CE且BMCE……1分(3分)2【备注2】见“”给1分。∴四边形BMEC为平行四边形,则BC//EM………1分3【备注3】见“BC//EM”给1分。∵EM面PMN，BC面PMN，BC//面PMN……1分(5分)【备注4】若缺少写出“BC面”扣1分.(2)取MN中点O，连接PO,则等边PMN中POMN.∵面PMN面AMN,面PMN面AMNMNPO面AMN,可得POAN.又ANNP,,PONPPAN面PMN………………..…1分【备注5】正确写出“面”，才给1分。以N为坐标原点，NA,,NMNz为x,,yz轴建立空间直角坐标系，13分分NMAP(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),0,,………………………1(7)22【备注6】至少正确写出非原点外1个点坐标,可给1分.设，则1133PFPAF2,,2222依题意可得平面PMN的法向量为m(1,0,0)，………………1分(8分)NMn0设平面MNF的法向量为n(,,)xyz，则NFn0取n(3(1),0,4)…………………………………..……………2分(10分)【备注7】正确写出“”给2分;若法向量结果不正确,但前面出现“”可给1分。mn二面角FMNP为，则|cos|||…………………………1分|mn|||mn【备注8】正确写出公式“”、“cos”之一，给1分。|mn|||4|3(1)|2012∴,2（舍）1926367325则PF………………………………………………...………1分(12分)3【备注9】正确写出“”给1分。解法二：（1）如图所示：取AN的中点Q，连接BQ，CQ……....1分在ANP，C为AP中点，Q为AN中点,CQ//PNPN平面PNMCQ//平面PNM.......................1分(2分)（说明1：见CQ//平面PNM给1分）在四边形ABMN中，AN//BM,AN2BM2,Q为AN中点,QNBN1,QN//BM四边形BMNQ为平行四边形BQ//MNBQ//平面PMN.............................................................1分(3分)（说明2：见BQ//平面PMN给1分）又BQCQQ平面CQB//平面PMN..............................1分BC//平面PMN...................................................................1分(5分)（说明3：若是没有平面CQB//平面PMN，则扣1分）（2）取MN的中点O，连接PO，则在等边PMN中，POMN平面PMN平面AMN，平面PMN平面AMNMNPO平面AMN，可得POANANNP，PONPPAN平面PMN....................................1分(6分)（说明4：见AN平面PMN可给1分）取AB的中点E，以O为原点，分别以OE、OM、OP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：5y11311则MNPAB(0,,0),(0,,0),(0,0,),(2,,0),(1,,0)2222213MN(0,1,0),AP(2,,),MB(1,0,0)22.............1分(7分)（说明5：正确建立空间直角坐标系，且至少正确写出非原点外的一个点坐标，可给1分）由已知MB(1,0,0)是平面PMN的一个法向量，记为m(1,0,0)..........1分(8分)假设线段PA上存在点F满足已知条件，则有AFAP,1且01113设F(,,)xyz，有AF(x2,y,z)(x2,y,z)(2,,)0000020002022113113x22,y,z，即F(22,,)002202222113OF(22,,)222MNn0设平面FMN的一个法向量为n(,,)xyz，则OFn03取n(,0,22)2..........................................................................2分(10分)3(说明6：正确写出n(,0,22)给2分；若法向量结果不正确，2MNn0但前面出现可给1)分OFn0300201由已知得cosmn,2367122(22)4整理得2412216088040，即化简得322101解得，1(舍去)3.......................................................1分61线段PA上存在点F，当AFAP时，已知条件成立313225AP45PF54433...........................................1分(12分)求平面FMN的一个法向量的另一种解法：ijk3MNOF010(,0,22)2113222223平面MNF的一个法向量可取n(,0,22)2（说明7：得出正确法向量给2分；若是正确列出行列式，但法向量结果不正确可给1分）第（2）小题的另一种解法：几何法作FE//AN，EGNMMNFE,,MNEGEFEGEMN平面FNGMNFG.......................................................1分(7分)FGE为二面角FMNP的平面角（说明8：正确做出二面角的平面角和证明给2分，若只是正确做出平面角可给1分）EFPE设PEa,在ANP中，,EF2a,NE1aNAPNNEEQ（31-a）在NOP中，由得EQ=NPPO2.............1分(8分)2018由已知cosFGE得tanFGE673............1分(9分)EF28a在直角三角形FEG中，tanFGEEG3(1a)3272a3...................................................................................................1分(10分)在直角三角形ANP中，AP145....................................................1分PEPE25所以在ANP中，由得PFPAPN3................................................1分(12分)19.随着科技的不断发展，“智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量(单位：万部)统计表.5并计算求得xiixyy3.7.i1（1）已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程；（2）预测2023年该市手机总体出货量.附:线性回归方程yˆaˆbxˆ中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为