2023届河南省青桐鸣大联考高三下学期4月联考文科数学试题

2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考(高三)数学(文科)全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合M=1234567,N={x|2x−1<5},则M∩N= ()A.{1,2} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}2. 复数z满足(z—i)(2—i)=i,则|z|= ()A.1 B.2 C.2 D.53. 已知命题p:log₂x<1,命题q:x−1<1,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 已知正实数a,b,点M(1,4)在直线xa+yb=1上，则a+b的最小值为()A.4 B.6 C.9 D.125. 已知tanαtanβ=2,cosα+β=−15,则cos(α−β)=()A.35B.−35C.115D.−1156. 函数fx=ex−e−x−2xsinxx∈−3π23π2的图象大致是()7. 若执行下面的程序框图，则输出的s()A.有6个值,分别为6,10,28,36,66,78B.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,91C.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,120D.有8个值,分别为6,10,28,36,66,78,120,1368.已知圆O为△ABC的外接圆,∠BAC=60∘,BC=23,则OB⋅OC=()A.2B.-2C.4D.-49.函数fx=sinx+π5+3cosx+8π15的最大值为 ()A.1 B.3 C.5 D.710. 在长方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中,AB=BC=2,M.为CC₁的中点,A₁C⊥平面MBD,则A₁B与B₁C所成角的余弦值为()A.13 B.23 C.15 D.3511. 已知数列{aₙ}满足a1=1,a2k=a2k−1+1,a2k+1=2a2k−1,k∈N∗,则a₂₀₂₃=()A.2¹⁰¹² B.2¹⁰¹²−1 C.2²⁰²² D.2²⁰²²−112. 已知抛物线y²=4x上有三点M,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M点的纵坐标为2,y₁+y₂=-4,且y₁,y₂<2,则△MAB面积的最大值为()A.1663 B.1669 C.3239 D.3233二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知f(x)=ax+lnx的一条切线是y=x,则实数a=.14. 已知一个球的表面上有四点A，B，C，D，BD=23,∠BAD=60∘,∠BCD=90∘平面ABD⊥平面BCD,则该球的表面积为.15. 已知数列{aₙ}满足a1+a2+⋯+an=n2,则a1⋅21+a2⋅22+⋯+an⋅2n=_______.16. 已知双曲线x2−y25=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M位于双曲线的右支上，F₁M交左支于点N,△MNF₂的内切圆I的半径为1,I与NF₂,MN分别切于点P,R,则cos∠RNP=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,tanB+tanC=3cosAcosBcosC.(1)求A;(2)若a=6,求b+c的取值范围.18. (12分)为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，某贫困村利用当地自然条件，在南、北两山上种植苹果，现已开始大量结果，苹果成熟时，将苹果分为“一级”“二级”“三级”，价格从高到低，有一水果商人要收购这里的苹果，收购前，将南山和北山上的苹果各随机摘取了200千克，按等级分开后得到的数据为：南山上的“一级”苹果40千克，“二级”苹果150千克；南、北山上的“三级”苹果共40千克；北山上的“一级”苹果50千克.(假设两山上的苹果总产量相同，以样本的频率估计概率)(1)若种植苹果的成本为5元/千克，苹果收购价格如下表：等级“一级”“二级”“三级”价格（元／千克）1281①分别计算南山和北山各随机摘取的200千克苹果的平均利润；②若按个数计算，“一级”苹果平均每千克有3个，“二级”苹果平均每千克有4个，“三级”苹果平均每千克有6个，以此计算该村南山上的200千克苹果的个数，并按各等级苹果个数以分层抽样的方式从中抽取13个苹果，分别放在13个外形完全一样的包装内，水果商人在这13个苹果中随机取2个，求恰有1个“三级”苹果的概率.(2)判断能否有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.附:K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.P(K²≥k₀)0.10.050.010.005k₀2.7063.8416.6357.87919. (12分)在四棱锥P-ABCD中,AB=4,BC=CD=2,AB//CD,∠ABC=90°,PA=PD=2,PD⊥BD.(1)证明:平面PAB⊥平面PBD;(2)求点C到平面PAB的距离.20. (12分)已知点M132在椭圆x2a2+y2b2=1ab>0)上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足：kMA+kMB=−1.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足kPT+kQT=0(P,Q与T均不重合)?若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.21. (12分)设函数fx=mxeˣm≠0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)+x²+x有三个零点x₁,x₂,x₃,且x₁证明：x₁+x₃>x₂.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=sint+14sint,y=sint+12sintt为参数且t∈(0,π)),以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，0π2且tanα=34,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+α)=m(m∈R).(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围.23. [选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f(x)=|2x+3|+|x−a|(a>0)的图象如图所示,当x=−32时,f(x)取得最小值3,g(x)=−x.(1)求实数a的值;(2)若g(x−t)≤f(x)恒成立,求实数t的取值范围.2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考(高三)答案数学(文科)1.C【解析】由2x−1<5,得1≤2x<26,故M∩N={1,2,3,4}.故选C.2.B【解析】z−i=i2−i=i2+i5,则z=−15+7i5,故|z|=152+752=2.故选B.3.B【解析】由题意得,命题p:00,排除C;f(π)=0,排除D.故选A.7.C【解析】当n=3时,输出s=6;当n=4时,输出s=10;当n=7时,输出s=28;当n=8时,输出s=36;当n=11时,输出s=66;当n=12时,输出s=78;当n=15时,15>12,输出s=120,结束.故选C.8.B【解析】如图,圆O的直径为2R=BCsin∠BAC=4,故|OB|=|OC|=R=2,∠BOC=2∠BAC=120°,故OB∙OC=|OB||OC|cos120∘=−2.故选B.9.A【解析】fx=sinx+π5+3cos[(x+π5)+π3]=sinx+π5+3[cosx+π5.12−sinx+π5⋅32]=12sinx+π5+32cosx+π5=sinx+π5+2π3故最大值为1.故选A.10.B【解析】连接MB,MD,BD,连接A₁D,如图,A₁B₁⊥平面BCC₁B₁,则A₁B₁⊥BM,又A₁C⊥平面MBD,则A₁C⊥BM,A₁C∩A₁B₁=A₁,则BM⊥平面A₁B₁C,则BM⊥B₁C,∠MBC=∠BB₁C,则tan∠MBC=tan∠BB₁C,则MC2=2BB1,解得BB1=22,由长方体的性质易知，A₁B₁∥DC,所以四边形A₁B₁CD为平行四边形,所以A₁D∥B₁C,则∠BA₁D即为所求角,在△BA₁D中,A1B=A1D=23,BD=22,故cos∠BA1D=12+12−82×23×23=23.故选B.11.B【解析】a₂ₖ₊₂=a₂ₖ₊₁+1=2a₂ₖ−1+1=2a₂ₖ故{a₂k}是首项为a₂=a₁+1=2,公比为2的等比数列，则a₂₀₂₂=a₂⋅2¹⁰¹⁰=2¹⁰¹¹,a₂₀₂₃=2a₂₀₂₂−1=2¹⁰¹²−1.故选B.12.C【解析】由题意得,,xM=1,则M(1,2),由y₁+y₂=-4,得kAB=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2=-1.设直线AB：x=t−y，代入抛物线方程得y²+4y−4t=0,可得Δ=16+16t>0,得t>−1.|AB|=2|y1−y2|=2⋅16+16t=42⋅1+t,点M(1,2)到AB的距离为d=|3−t|2,故SMAB=12|AB|⋅d=21+t.|3−t|=21+t3−t2,由y₁,y₂<2,得4+8−4t>0,即t<3,又t>−1,则−1