安徽省合肥市第八中学2023届高三最后一卷数学试题

2023-11-23 · 22页 · 1.7 M

合肥八中2023届最后一卷数学考生注意:1.试卷结构:分第Ⅰ卷(选择题)和第ⅠⅠ卷(非选择题):试卷分值:150分,考试时间:120分钟.2.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区城内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.3.所有答案均要答在答题卡上,否则无效.考试结束后只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个正确答案,请把正确答案涂在答题卡上)1.已知集合,则()A.B.C.D.2.已知复数,且为纯虚数,则()A.B.C.1D.3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid),是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图,它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共截去八个三棱锥得到.已知,若该半正多面体的表面积为,体积为,则为()A.B.C.2D.4.若为奇函数,则()A.3B.2C.D.5.有4名女生2名男生参加学校组织的演讲比赛,现场抽签决定比赛顺序,已知男生甲比男生乙先出场,则两位男生相邻的概率是()A.B.C.D.6.在平面直角坐标系中,为圆上的动点,定点.现将坐标平面沿轴翻折成平面角为的二面角,此时点翻折至,则两点间距离的取值范围是()A.B.C.D.7.已知,其中,则()A.B.C.D.8.如图,已知是面积为的等边三角形,四边形是面积为2的正方形,其各顶点均位于的内部及三边上,且可在内任意旋转,则当时,()A.B.C.D.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.请把正确答案涂在答题卡上)9.下列命题中正确是()A.数据-1,1,2,4,5,6,8,9的第25百分位数是1B.若事件的概率满足且,则相互独立C.已知随机变量,若,则D.若随机变量,则10.已知函数,对任意均有,且在上单调递减,则下列说法正确的有()A.函数是偶函数B.函数的最小正周期为C.函数在上的值域为D.若在上恒成立,则的最大值为11.如图,为坐标原点,分别为双曲线的左、右焦点,过双曲线右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于两点,交轴于点,则下列结论正确的是()A.B.C.D.若存在点,使得,且,则双曲线的离心率为2或12.如图,点是正四面体底面的中心,过点的直线分别交于点是棱上的点,平面与棱的延长线相交于点,与棱的延长线相交于点,则()A.存在点与直线,使B.存在点与直线,使平面C.若,其中,,则的最小值是D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知,则向量在向量上的投影向量为__________.14.的展开式中的常数项为__________.15.已知正项数列,其前项和为,且满足,数列满足,其前项和,设,若对任意恒成立,则的最小值是__________.16.设,若关于的不等式在上恒成立,则的最小值是__________.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知数列的前项和为,请从以下三个条件中选择一个完成解答.①数列是首项为2的单调递减的等比数列,且成等差数列;②;③.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(本题满分12分)已知的内角所对的边分别为,且满足.(1)求;(2)若是的角平分线,且,求的最小值.19.(本题满分12分)如图,在三棱柱中,底面是等腰三角形,且,又侧棱,面对角线,点分别是棱的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的正切值.20.(本题满分12分)当前移动网络已融入社会生活的方方面面,深刻改变了人们的沟通、交流乃至整个生活方式.4G网络虽然解决了人与人随时随地通信的问题,但随着移动互联网快速发展,其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需求,而5G作为一种新型移动通信网络,不但可以解决人与人的通信问题,而且还可以为用户提供增强现实、虚拟现实、超高清(3D)视频等更加身临其境的极致业务体验,更重要的是还可以解决人与物、物与物的通信问题,从而满足移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等物联网应用需求,为更好的满足消费者对5G网络的需求,中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐,每款套餐的月资费x(单位:元)与购买人数y(单位:万人)的数据如下表:套餐ABCDEF月资费1(元)384858687888购买人数y(万人)16.818.820.722.424.025.5对数据作初步的处理,相关统计量的值如下表:75.324.618.3101.4其中,且绘图发现,散点集中在一条直线附近.(1)根据所给数据,求出关于的回归方程;(2)已知流量套餐受关注度通过指标来测定,当时相应的流量套餐受大众的欢迎程度更高,被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中,购买不同的四款各自使用.记四人中使用“主打套督”的人数为,求随机变量的分布列和期望.附:对于一组数据,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计值分别为.21.(本题满分12分))已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数在处的切线佮好经过点,且对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.22.(本题满分12分)(1)若椭圆的离心率,且被直线截得的线段长为,求椭圆的标准方程;(2)椭圆,其中,若点是上的任意一点,过点作的切线交于两点,为上异于的任意一点,且满足,问:是否为定值?若为定值,求出该定值;否则,说明理由.参考答案、提示及评分细则123456789101112DCACBBCABCDACDABBCD一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.【答案】D【解析】因为,所以,因为,所以,因此,故选D.2.【答案】C【解析】复数,则,依题意得,,解得,即,所以.故选.3.【答案】A【解析】如图,该半正多面体的表面由6个正方形和8个正三角形构成,则其表面积,该半正多面体的体积可以由正方体截去8个三棱锥的体积计算,.故选A.4.【答案】C【解析】因为函数为奇函数,所以的定义域关于原点对称.若,则的定义域不关于原点对称,所以的定义域为且,从而,解得.所以,定义域为.令,得.经检验,为奇函数,.故选C.5.【答案】B【解析】设男生甲比男生乙先出场为事件,则,设两位男生相邻为事件,则男生甲比男生乙先出场且两位男生相邻为事件120,故在已知男生甲比男生乙先出场的条件下,则两位男生相邻的概率是.故选B.6.【答案】B【解析】设所在平面为,圆的另一半所在平面为,若,则三点共线时,有最小值;当在圆与轴交点时,取到最大值,即;若在上的投影为,则到面距离为,则三点共线时,有最大值,,此时;当在圆与轴交点时,有最小值,,此时;即;综上可得,.故选B.7.【答案】C【解析】构造函数,则,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,由,可得,即,即,由,可得,即,即,因为在上单调递增,所以,故,因为在上单调递减,,故,因为,故,即,因为,所以,因为在上单调递减,,故,从而.故选C.8.【答案】A【解析】因为是面积为的等边三角形,记边长为,所以,解得,记内切圆的半径为,根据,可得:,解得,因为正方形的面积为2,所以正方形边长为,记正方形外接圆半径为,所以其外接圆直径等于正方形的对角线2,即,根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆,因为正方形可在内任意旋转,可知正方形各个顶点均在该的内切圆上,以的底边为轴,以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示:故可知,圆的方程为,故设,即,,,故选A.9.【答案】BCD【解析】对于选项个数据从小到大排列,由于,所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数,故A错误;对于选项,由,可得,即,即,所以相互独立,故B正确;对选项C,,则,故C正确;对选项D:因为随机变量,由正态曲线的对称性可得:,所以,所以.故D正确;故选BCD.10.【答案】ACD【解析】的图象关于点对称,又当时,取得最值,即的图象关于直线对称,又在上单调递减,,点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴,设的最小正周期为,则,,又的图象关于点对称,由正弦函数的性质,,时,.对于选项,函数是偶函数,故正确;对于选项B,函数的最小正周期为,故B错误;对于选项,由图象可知,函数在上的值域为,故C正确;对于选项D,由,得,,解得,由余弦函数的性质,,若在上恒成立,则的最大值为,故D正确.故选ACD.11.【答案】AB【解析】对于选项,先求双曲线上一点的切线方程,不妨先探究双曲线在第一象限的部分(其他象限由对称性同理可得).由得:,所以,则在点的切线斜率为,所以在点的切线方程为:,又因为,所以在点的切线方程为:,不失一般性,设点是双曲线在第一象限的一点,是切线与渐近线在第一象限的交点,是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程为,联立所以点,同理可得:,则,又因为,所以,即:,故A项正确;对于选项B,由A项知,,所以点是线段的中点,所以,故B项正确;对于选项,因为在点的切线方程为:,令得,所以点,则,当点在顶点时,仍然满足,故C项错误;对于选项D,因为,所以,又因为,所以,解得:,即:,代入得,所以,,,所以,,解得:或6,所以离心率为或,故D项错误.故选AB.12.【答案】BCD【解析】对于选项,故A错误;对于选项,当直线平行于直线为线段上靠近的三等分点,即,此时平面,以下给出证明:在正四面体中,设各棱长为,均为正三角形,点为的中心,,由正三角形中的性质,易得,在中,,由余弦定理得,,,则,同理,,又平面平面,平面存在点与直线,使平面,故B正确;对于选项,,当且仅当时等号成立,故C正确;对于选项,设为的中点,则,又三点共线,三点共线,三点共线,,设,则,四点共面,,又,,即,故D正确.故选BCD.13.【答案】【解析】,又,又,所以向量在向量方向上的投影向量为.故答案为.14.【答案】29【解析】因为,故所求常数项为.故答案为29.15.【答案】1【解析】由题意知,,且,则当时,,两式相减得,因此,而,即,又,解得,数列是首项为3,公差为2的等差数列,因此,,,,数列是单调递增的,,而数列是单调递减的,,因为,不等式恒成立,则,不等式且恒成立,因此且,即有,又,所以的最小值是1.故答案为1.16.【答案】【解析】由题意知,不等式在上恒成立,令,则在上恒成立,令,所以,若,则在递增,当时,,不等式不成立,故,当时,,当时,,所以当时,取得最大值,所以,所以,所以,令,则,所以,当时,当时,,所以当时,取得最小值的最小值是.又,所求最小值是.故答案为.17.【答案】(1)【解析】(1)若选择①,则,即,解得或,又数列单调递减,故,此时;若选择②,则当时,,即;当时,,即,故;若选择③,时,则;当时,符合上式,即.(2),则,则,两式相减得,从而有.18.【答案】(1);(2)【解析】(1)解:因为,由正弦定理可得,即,所以,而,故,因为,所以(2)解:由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,又,从而,当且仅当时,等号成立,故,因此的最小值为.19.【答案】(1)答案见解析;(2)【解析】(1)在和中由勾股定理知,从而可知三棱柱为直三棱柱,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,于是,从而,由,,知,又平面,且,故平面.(2)由,知,设平面的法向量为,则有,令,则,即;又由(1)知平面的法向量为,故求二面角的余弦值为,其正弦值为,故其正切值为.20.【答案】(1);(2)答案见解析【解析】(1)因为散点集中在一条直线附近,设回归方程为,由,则,,故变量关于的回归方程为.又,故,综上,关于的回归方程为.(2

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