2023江苏南通高三考前模拟（南通四模）数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1．已知集合Ax|lnx0，Bx|22，则ABA．(，1)B．(0，1)C．()，1D．(0，1)22log2x，x0，π2．已知函数f()x则f(f())sinx，x≤0，6A．2B．1C．1D．23．若z3i，复数z与z在复平面内对应的点分别为A，B，则ABziA．2B．22C．3D．44．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升5．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比2y2如，双曲线有如下性质：AB，分别为双曲线C:x1(a0，b0)的左、右顶点，a2b2PQ2从C上一点P（异于AB，）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的AQQB离心率为2，则该常数为31A．B．3C．D．3336．在平行四边形ABCD中，AB4，AD2，AM1AD，AN3AB，CMCN9，24则DMDN15A．1B．1C．D．38数学试卷第1页（共4页）7．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13，M是AD11的中点，点N在棱CC1上，CN2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为13210213A．3B．C．D．2338．已知f(x)ln(x21x)，若af(ln)2，bf()1，cf(tan)1，则332A．abcB．bacC．cabD．bca二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是A．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4B．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36C．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170D．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为6110．已知O为坐标原点，过抛物线C:y22px(p0)的焦点F(2，0)作斜率为3的弦AB，其中点A在第一象限，则A．AOFBOFB．AOB90C．AB16D．AF3FB311．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则PPA．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4mB．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点OdC．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒水面D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面数学试卷第2页（共4页）12．在边长为2的菱形ABCD中，BADπ，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形3A'BCD，使得ABCπ．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则2A．EF3B．直线A'C与EF所成角的余弦值为33C．直线AC与EF的距离为1D．四面体A'BCD的外接球的表面积为4π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。413．2x(3x2)的展开式中含x3项的系数为．x222214．已知圆C1:(xa)(y1)1与圆C2:xy3交于AB，两点，若直线AB的倾斜角为60，则AB．15．已知sincossin，sincossin2，0，π，则cos．216．已知函数f()x，g()x的定义域均为R，f()x是偶函数，g(x1)1是奇函数，且2023g(x2)f(x)4，f(4)3，则g(1)；g()k．k1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在线段AC上，BDCD2AD．（1）若ac2，求b；（2）若Bπ，求角A．318．（12分）已知数列an是公差为3的等差数列，数列bn是公比为2的等比数列，且满足a1a3b1b2b3，a2a4b2b4．将数列an与bn的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列cn．（1）证明：cnb2n；（2）求数列ancn的前n项和Sn．数学试卷第3页（共4页）19．（12分）某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为p(0p1)，且各元件是否正常工作相互独立．若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作．（1）若该系统安装了3个元件，且p2，求它稳定工作的概率；3（2）试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定．20．（12分）如图，在三棱台ABCABC中，AC2AC，四棱锥ABCCB的体积为3．11111112（1）求三棱锥AABC111的体积；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，平面A1ACC1平面ABC，平面A1ABB1平面ABC，求二面角ABCB11的正弦值．21．（12分）22y2已知椭圆C:xy21的左、右顶点是双曲线C:x1(a0，b0)的顶点，122a2b2C的焦点到C的渐近线的距离为3．直线l:ykxt与C相交于AB，两点，1232OAOB3．（1）求证：8k2t21；，（2）若直线l与C1相交于PQ两点，求PQ的取值范围．22．（12分）已知函数f()xx2axa2，g(x)2ex1ax．（1）若a1，证明：曲线yf()x与曲线yg()x有且仅有一条公切线；（2）当x≥1时，f(x)g(x)≤2ax，求a的取值范围．数学试卷第4页（共4页）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1．已知集合Ax|lnx0，Bx|22，则ABA．(，1)B．(0，1)C．()，1D．(0，1)22【答案】Dlog2x，x0，π2．已知函数f()x则f(f())sinx，x≤0，6A．2B．1C．1D．2【答案】C3．若z3i，复数z与z在复平面内对应的点分别为A，B，则ABziA．2B．22C．3D．4【答案】A4．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升【答案】B5．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比2y2如，双曲线有如下性质：AB，分别为双曲线C:x1(a0，b0)的左、右顶点，a2b2PQ2从C上一点P（异于AB，）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的AQQB离心率为2，则该常数为数学试卷及参考答案第1页（共12页）31A．B．3C．D．333【答案】D6．在平行四边形ABCD中，AB4，AD2，AM1AD，AN3AB，CMCN9，24则DMDN15A．1B．1C．D．38【答案】B7．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA13，M是AD11的中点，点N在棱CC1上，CN2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为13210213A．3B．C．D．233【答案】C8．已知f(x)ln(x21x)，若af(ln)2，bf()1，cf(tan)1，则332A．abcB．bacC．cabD．bca【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是A．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4B．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36C．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170D．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为61【答案】ACD数学试卷及参考答案第2页（共12页）10．已知O为坐标原点，过抛物线C:y22px(p0)的焦点F(2，0)作斜率为3的弦AB，其中点A在第一象限，则A．AOFBOFB．AOB90C．AB16D．AF3FB3【答案】BD11．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则PA．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4mOB．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点dC．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒水面D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面【答案】ABC12．在边长为2的菱形ABCD中，BADπ，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形3A'BCD，使得ABCπ．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则2A．EF3B．直线A'C与EF所成角的余弦值为33C．直线AC与EF的距离为1D．四面体A'BCD的外接球的表面积为4π2【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。413．2x(3x2)的展开式中含x3项的系数为．x【答案】3222214．已知圆C1:(xa)(y1)1与圆C2:xy3交于AB，两点，若直线AB的倾斜角为60，则AB．数学试卷及参考答案第3页（共12页）【答案】315．已知sincossin，sincossin2，0，π，则cos．2【答案】4171716．已知函数f()x，g()x的定义域均为R，f()x是偶函数，g(x1)1是奇函数，且2023g(x2)f(x)4，f(4)3，则g(1)；g()k．k1【答案】1；2021四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在线段AC上，BDCD2AD．（1）若ac2，求b；（2）若Bπ，求角A．3【解】（1）因为BDCD2AD，ADCDb，21所以BDCDb，ADb．33在△ABD中，由余弦定理，得2225242ABADBD2ADBDcosADBbbcosADB，①99在△BCD中，由余弦定理，得2228282BCCDBD2CDBDcosBDCbbcosADC．②……2分99因为ADBBDCπ，所以cosADBcosBDC0，由2×①+②，得2AB2BC22b2，即a22c22b2．又因为ac2，所以b6．……5分π（2）设CBD，则ABD，32π因为BDCD，所以ADB2，所以BAD．3ADBD在△ABD中，由正弦