陕西省汉中市2023-2024学年高三上学期第三次校际联考 文科数学

2024届高三第三次校际联考数学（文科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则z的虚部为A． B． C． D．2.命题“，”的否定是A．， B．，C．， D．，3.已知全集，集合，，则A． B． C． D．4.双曲线C：的焦点坐标为A． B． C． D．5.若，则函数的图象可以是A． B． C． D．6.已知等差数列，其前n项和满足，则A．4 B． C． D．37.已知等比数列为递减数列，若，，则A． B． C． D．68.设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则9.在某校高中篮球联赛中，某班甲，乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是图一 图二（第9题图）A．甲得分的极差是18 B．乙得分的中位数是16.5C．甲得分更稳定 D．甲的单场平均得分比乙低10.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，49，则输出的（第10题图）A．9 B．7 C．5 D．311.在正三棱柱中，，E为棱AC的中点，则异面直线与BC所成角的余弦值为A． B． C． D．12.已知实数x，y满足，则的最小值是A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则.14.在△ABC中，，，则.15.已知椭圆C：的一个焦点为F，若C上存在点P，使△POF（O为原点）是等边三角形，则椭圆C的离心率为.16.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积.18.（本小题满分12分）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400（Ⅰ）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.（本小题满分12分）如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD是等边三角形，ABCD是等腰直角三角形，BC⊥CD，，点O，E分别为BD，AD的中点.（第19题图）（Ⅰ）证明：AC⊥BD；（Ⅱ）求三棱锥A-EOC的体积.20.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）若在处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的方程为，其顶点到焦点的距离为2.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点，设直线l：与抛物线交于A、B两点，且直线PA、PB的斜率之和为0，证明：直线l必过定点，并求出该定点的坐标.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为（t为参数）.在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求的值.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若，求a的取值范围.2024届高三第三次校际联考数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 2.A 3.D 4.D 5.D 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 11.A 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 15. 16.2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理可得，又，∴，即，∵，∴.（Ⅱ）∵，，，∴由余弦定理可得，即，解得，即，，∴.18.解：（Ⅰ）∵，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.（Ⅱ）在取出的5件产品中，3件一等品记为a，b，c，2件二等品记为D，E，从这5件产品中任选2件的所有情况为ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10种，其中2件全是一等品的情况为ab，ac，bc，共3种，∴选出的2件全是一等品的概率为.19.解：（Ⅰ）证明：∵△ABD是等边三角形，点O为BD中点，∴.又∵，∴.又∵，∴平面AOC.又∵平面AOC，∴.（Ⅱ）由题意知，，∴.由（Ⅰ）知平面AOC，又点E为AD中点，∴点E到平面AOC的距离为.∴.20.解：（Ⅰ）由，得，∵在处的切线与x轴平行，∴，解得.（Ⅱ）函数的定义域为，.当时，对任意的，，此时函数无极值点；当时，令，可得，由，可得；由，可得.此时，函数的减区间为，增区间为.∴函数在处取得极小值.综上，当时，函数无极值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点.21.解：（Ⅰ）∵抛物线的顶点到焦点的距离为2，∴，解得.∴该抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设点、，把直线代入，消去y，整理得，则且，，直线PA的斜率为，同理得直线PB的斜率，则，即，显然，故，∴直线l的方程为，故直线l必过定点.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（Ⅰ）由直线l的参数为（t为参数），得直线l的普通方程为.将圆C的极坐标方程：两边同乘得，化为直角坐标方程为.（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即，设，是A和B对应的参数，则，，又直线l过点，∴.23.解：（Ⅰ）当时，，当时，不等式化为，∴，此时；当时，不等式化为，恒成立，此时；当时，不等式化为，∴，此时.综上所述，不等式的解集为.（Ⅱ），若，则，不等式两边平方可得，解得，又，∴，即a的取值范围是.