专题08 计数原理、概率及统计（解析版）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题08计数原理、概率及统计考点一众数、中位数、平均数1．【多选】（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则 A．，，，的平均数等于，，，的平均数 B．，，，的中位数等于，，，的中位数 C．，，，的标准差不小于，，，的标准差 D．，，，的极差不大于，，，的极差【解析】选项，，，，的平均数不一定等于，，，的平均数，错误；选项，，，，的中位数等于，，，，的中位数等于，正确；选项，设样本数据，，，为0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均数是5，，，，的平均数是5，，，，的方差，，，，的方差，，，错误．选项，，，，正确．故选：．2．（2023•上海）现有某地一年四个季度的（亿元），第一季度为232（亿元），第四季度为241（亿元），四个季度的逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的为 ．【解析】设第二季度为亿元，第三季度为亿元，则，中位数与平均数相同，，，该地一年的为（亿元）．故答案为：946（亿元）．3．（2020•上海）已知有四个数1，2，，，这四个数的中位数是3，平均数是4，则 ．【解析】因为四个数的平均数为4，所以，因为中位数是3，所以，解得，代入上式得，所以，故答案为：36．考点二极差、方差与标准差4．【多选】（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有 A．样本，，，的标准差 B．样本，，，的中位数 C．样本，，，的极差 D．样本，，，的平均数【解析】中位数是反应数据的变化，方差是反应数据与均值之间的偏离程度，极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，平均数是反应数据的平均水平，故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．故选：．5．【多选】（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，2，，，为非零常数，则 A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同【解析】对于，两组数据的平均数的差为，故错误；对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故错误；对于，标准差，两组样本数据的样本标准差相同，故正确；对于，，2，，，为非零常数，的极差为，的极差为，两组样本数据的样本极差相同，故正确．故选：．考点三古典概型及其概率计算公式6．（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 A． B． C． D．【解析】从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为．故选：．7．（2022•上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种，而所有的抽取方法共有种，故每一类都被抽到的概率为，故答案为：．8．（2021•上海）已知花博会有四个不同的场馆，，，，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．【解析】甲选2个去参观，有种，乙选2个去参观，有种，共有种，若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有种，共有种，则对应概率，故答案为：．9．（2019•上海）某三位数密码，每位数字可在这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 ．【解析】方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为，则其中恰有两位数字相同的概率是；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为，可得其中恰有两位数字相同的概率是．故答案为：．考点四相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式10．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立【解析】由题意可知，两点数和为8的所有可能为：，，，，，两点数和为7的所有可能为，，，，，，（甲，（乙，（丙，（丁，（甲丙）（甲（丙，（甲丁）（甲（丁，（乙丙）（乙（丙，（丙丁）（丙（丁，故选：．11．【多选】（2023•新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为 A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【解析】采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：，故正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：，故正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：，故错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率，单次传输发送0译码为0的概率，，当时，，故，故正确．故选：．考点五频率分布直方图12．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．【解析】（1）当漏诊率（c）时，则，解得；（c）；（2）当，时，（c）（c）（c），当，时，（c）（c）（c），故（c），所以（c）的最小值为0.02．13．（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为，该地区年龄位于区间，的人口占该地区总人口的．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001．【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：岁．（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的频率为：，估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率为0.89．（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间，为事件，此人患这种疾病为事件，则．考点六分类加法计数原理（2020•上海）已知，，，0，1，2，，、，则的情况有 种．【解析】当，0种，当，2种，当，4种；当，6种，当，4种；当，2种，当，0种，故共有：．故答案为：18．考点七排列、组合及简单计数问题15．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有 A．种 B．种 C．种 D．种【解析】初中部和高中部分别有400和200名学生，人数比例为，则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有种．故选：．16．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，甲站在两端的情况有种情况，甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，故选：．17．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有 A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【解析】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：．故选：．18．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A．120种 B．90种 C．60种 D．30种【解析】因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：种结果；余下的3人去丙场馆；故共有：种安排方法；故选：．19．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．【解析】若选2门，则只能各选1门，有种，如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，则有，综上共有种不同的方案．故答案为：64．20．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有 种安排情况．【解析】根据题意，可得排法共有种．故答案为：180．21．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．考点八二项式定理22．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 ．【解析】二项式的通项为，，1，2，，，二项式的通项为，，1，2，，，，，1，2，，，若，则为奇数，此时，，，，又为奇数，的最大值为49．故答案为：49．23．（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ．【解析】二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，即，即，，故答案为：10．24．（2022•浙江）已知多项式，则 ， ．【解析】，；令，则，令，则，．故答案为：8，．25．（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为 （用数字作答）．【解析】的通项公式为，当时，，当时，，的展开式中的系数为．故答案为：．（2021•浙江）已知多项式，则 ； ．【解析】即为展开式中的系数，所以；令，则有，所以．故答案为：5；10．27．（2021•上海）已知二项式展开式中，的系数为80，则 ．【解析】的展开式的通项公式为，所以的系数为，解得．故答案为：2．28．（2021•上海）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为 ．【解析】由题意，，且，所以，所以令，的系数和为．故答案为：64．29．（2020•浙江）二项展开式，