浙江省名校协作体2023-2024学年高三上学期开学适应性考试 数学答案和解析

2023学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题高三年级数学学科解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合Axxx=−−2560，Bx=20222022x，则AB=1111A．,1B．,6C．−1,D．,32222命题意图：本题为原创题，本题考查集合的交运算、一元二次不等式、指数不等式的解法，意在考查学生对基本概念的掌握情况．11解析：A=−(1,6)，B=+,，AB=,6，故选B．22答案：B2.设复数z满足(1)−4=iz−i，i为虚数单位，则z在复平面上对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限命题意图：本题为原创题，本题考查复数的四则运算和几何意义，意在考查学生的计算能力．−−444ii−+4ii(1)解析：zi====−22，故在复平面上对应的点为(2,2−)，在1(1)(1)2−−+iii第四象限，故选D．答案：D3．在ABC中，点M，N分别是BC，AC边上的中点，线段AM，BN交于点|AD|D，则的值为|AM|1223A.B．C．D．2534命题意图：本题为原创题，本题考查用向量方法解决平面几何问题，考查学生的化归与转化思想．解析：||2AD方法一：可由三角形重心的性质知：=||3AMuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur11方法二：设ADAM=，则ADAMABACABAN==+=+()，由BDN,,共线22212可知，+1=，=，故，故选C．23答案：C{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}4.如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为56cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装(1000cm3=1L)A．1.5LB．1.7LC．2.3LD．2.7L命题意图：本题为改编题本题考查棱台的体积公式，意在考查学生的数学抽象和计算能力．22解析：棱台的高h=−=(565210)()，11VSSSShcmL=++=++=()(400100200)102.3102.333．33答案：Cp:5.已知数列an的前n项和为Sn．若数列是等比数列；2pqqSaSSS:()()nnn++1122−=−，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件命题意图：本题为原创题，本题在数列的背景下考查常用逻辑用语，考查学生的逻辑推理能力和对基本概念的掌握．解析：若是等比数列，则a2+a3++ann+1=q()a1+a2++a，a3+a4++ann++2=q()a2+a3++a1，于是2()()()aaaaaaaaa23134212+++=++++++nnn++，即2*；若()()SaSSSnnn++1122−=−，取ann=0,Ν，显然不是等比数列，故p是q的充分不必要条件．答案：A6.某校银杏大道上共有20盏路灯，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是A．324B．364C.560D．680命题意图：本题是原创题，本题主要考查了插空法，考查学生建立模型的能力，旨在考查学生的分析问题、解决问题的能力.解析：关掉的三盏路灯不相邻，故选择用插空法，首先拿出两盏亮的路灯备用，{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}把15盏亮的路灯先放好，把三盏关掉的等插进去，因为头尾两盏路灯不能关闭，3所以是除头尾之外的14个位置上插入三盏关掉的灯，共C14=364种，再在每两盏关掉的路灯之间再各放入一盏备用的路灯，这样就保证了关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，故选B.答案B.7.已知函数fxx()sin()(0)=+在(,)上恰有1个零点，则的取值范围是33258258A．(0,)[,]B．(,][2,]3333335811811C．[,2)[,]D．(0,2][,]33333命题意图：该题是原创题，本题主要考查了复合函数零点问题、三角函数的性质，旨在考查学生转化化归思想，考查学生的分析问题、解决问题的能力.解析：令tx=+(,)++，因为函数在上3333恰有1个零点，即转化为yt=sin，t++(,)只有1个零点，故可得333kk−+3431kk−−33，即12，又，要使上述方程组有解，则需kk−+0kk++3331kk−31−3234kk−+172583，所以k，故k=1,2，当k=1时，，当k=2时，2，333332k+033k−10故选B；答案：B8.在三棱锥DABC−中，ABBC==2，=ADC90，二面角DACB−−的平面角为30，则三棱锥外接球表面积的最小值为A．16(23−1)B．16(23−3)C．16(23+1)D．16(23+3)命题意图：该题是原创题，本题主要考查了三棱锥外接球的求法、三角函数的最值问题，考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力，考查学生的推理运算能力.解析：如图,先作出△ACD的外接圆，当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，因为，DA=DC，所以AC⊥BM,AC⊥DM,故DMB即为二面角{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}DA−−CB的平面角，△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；1BCcos2在平面ABC内，设=CBA2，则21，OMO11==Ccos2，r=BO1==coscoscos3cos2因为=DMB30，所以=OMO60，所以OOO==M3，所以111cos13cos22RrOO222=+=+1coscos2213(2t−1)24令t=cos2(0,1)，则Rt2=+=12+−12248−12=83−12，所以ttt3SR=−416(233)2，当且仅当t=时取等，故选B3DDMBMACO1O1OBO答案：B二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是A．数据7,5,3,10,2,6,8,9的中位数为7B．已知01PM()，01PN()，若PNMPN(|1)+=()，则M,N相互独立C.已知一组数据x1，x2x3，……，xn的方差为3，则x1+1，x2+1x3+1，……，xn+1的方差为3D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为yˆ=−0.3xm，若其中一个散点为(m,0.28−)，则m=4命题意图：本题为改编题，本题考查概率统计中的中位数、独立事件、方差、回归方程等基本概念，意在考查学生对概念的掌握情况．解析：对于A选项，将这些数从小到大排列2，3，5，6，7，8，9，10，中位数{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}为6和7的平均数，即6.5，故A错误；对于B选项，PNM()PNMPNPN(|1()1)+=+−=，于是PNMPMPN()()()=，故B正确；对()PM()于C选项，每一个数据都加1不改变离散程度，方差不变，故C正确；对于D选项，散点不一定在回归方程上，故D错误。综上，选BC．答案：BC10.已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为pii(1,2=,3),从各盒中取得红球的个数为i(i=1,2,3)，则3A.pp+p+=.B.EEE()()()1232132C.DD()(12)=D.DD()(23)命题意图：该题是解法原创，题目部分改编，本题主要考查了全概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，数学期望的本质就是平均值，旨在培养学生的思维能力、运算求解能力、数学建模能力.解析：方法一：可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，121个蓝球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个蓝球；乙盒中有1个红3312球，2个蓝球，拿出一个球，相当于平均拿出个红球，个蓝球，那么拿出一3342个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有个红球，个蓝球，乙盒子33244内还有个红球，个蓝球，丙盒子中有个红球，个蓝球，故2，11p==3331232131，p3=，满足两点分布，p2==2232221211122故E()1==，D()==，E()=1=，D()==，1331339233233911111E()1==，D()==，故选ABC.32232242112方法二：也可用全概率公式求解，比如p=+1=，以下同13233方法一.答案：ABC{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}111.已知非零实数abc,,(,)−,a232，则可能正确的是2aebbbc=++=3A.abcB.bacC.cbaD.cab命题意图：该题是原创题，本题主要考查函数与方程思想、数形结合思想，旨在培养学生的思维能力、运算求解能力、数学建模能力.解析：令fx()xe=x，gxxxx()=++23，hx()x3=2，先可证得111x31,(0,),(1)1,(0,)xexxxxxex++++xx22−，所232ex1以hxfxgxx()()(),(0,)，当x0时，fx()0，gx()0，而因2为c0，所以aebbbca=++=23230，所以ba0,0，而c有两解,1一正一负，因为gbfagaa()()(),(0,)=，而在21(0,)单调递增，所以ba.21当c0时，fah()()(),(0,)cfcc=，而在单调递增，2所以ac，所以;当c0时，,故选：BC注：可画出，，三个函数的图像答案：BC12.意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契(LeonardoFibonacci)在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一51−项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，因此又称“黄金分割数列”，2记斐波那契数列为an，则下列结论正确的有20221011A．ak=a2024−1B.a2k=a2024−1k=1k=12022222C.ak=a2022a2023D.an+1−anan+2=−(an−an−1an+1)k=1{#{QQABSQQEggiIAAAAARgCEQUQCEEQkAEACIgGQEAMoAAACBFABAA=}#}命题意图：该题是改编题，本题主要考查数列的裂项相消求和，旨在培养学生的思维能力、运算求解能力,创新能力，让学生体会数学之美，发现数学之美解析：因为annna++a21=+，所以annnaa=−++21，所以2022aa