江苏省灌南高级中学2023-2024学年高三上学期暑期检测（一）数学试题

灌南高级中学2023-2024学年第一学期高三数学命题人：审核人：考试时间：120分钟总分：150分一、单选题1．已知集合，则=．（）A． B． C． D．2．若集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．3．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知正实数x，y满足的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．85．若命题p：“”是假命题，则k的取值范围是（）A． B． C． D．6．若，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．7．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．函数，定义域均为R，且，．若为偶函数，，则（）A．10 B．13 C．14 D．39二、多选题9．已知a，b，c满足且，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．10．已知命题p：关于x的不等式的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．11．给出下列说法，错误的有（）A．若函数在定义域上为奇函数，则B．已知的值域为R，则a的取值范围是C．已知函数满足，且，则D．已知函数，则函数的值域为12．下列说法正确的有（）A．若，则的最大值是B．若，则的最小值为C．若a，b，c均为正实数，且，则的最小值是D．已知，且，则最小值是三、填空题13．计算求值：_________．14．已知集合，且，那么的子集有_________个．15．函数的最小值是_________．16．已知函数，若对任意，，且，都有则实数a的取值范围为_________．四、解答题17．已知等差数列{}的前n项和为，且．（1）求数列{}的通项公式：（2）设求数列{}的前n项和．18．设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B的大小：（2）求的取值范围．19．如图，在直三棱柱中，已知．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的大小．20．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在R上单调递增，求实数a的取值范围．21．甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为，若乙发球，则甲得分的概率为．该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球．（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平，已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方2分及以上）．设净胜分（甲，乙的得分之差）为X，求X的分布列．22．已知双曲线C的焦距为，离心率．（1）求双曲线C的方程：（2）设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线过定点．答案和解析1．【答案】D【解析】【分析】本题考查集合交集运算，属基础题．根据交集定义直接得结果【解答】解：由题意可知，故选：D．2．【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的包含关系，属于基础题．根据题意A是B的子集，即可得到a的取值范围．【解答】解：则故选D．3．【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．可用举例和证明相结合的方法解决【解答】解：若，则，且，必要性成立，若，当时，，充分性不成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4．【答案】C【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，涉及到1的代换思想，考查学生的运算求解能力，属于基础题．先由已知关系式可得，然后利用1的代换以及基本不等式化简即可求解．【解答】解：因为正实数x，y满足，则，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为4，故选：C．5．【答案】B【解析】【分析】本题考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，考查不等式的恒成立问题，是中档题．先根据题意等价为“”是真命题，分和讨论求解即可．【解答】解：由题可知，命题是真命题．当或若，则原不等式为，恒成立符合题意；若，则原不等式为，不恒成立，不符合题意．当时，依题意得即，解得．综上所述，实数k的取值范围为．故选B．6．【答案】B【解析】【分析】本题考查利用指数函数、幂函数的图象与性质比较大小，对数式的化简，属于中档题．根据指数函数和幂函数的单调性分别比较，和，0．的大小，即可比较a，b，再根据即可得出答案．【解答】解：因为指数函数是减函数，所以又幂函数上是增函数，所以所以，即，所以故选B．7．【答案】C【解析】【分析】用待定系数法求得然后用基本不等式可解决此题．本题考查幂函数求法、基本不等式，考查数学运算能力，属于基础题．【解答】解：设，∵幂函数的图象过点，∴∴，∴，∴，当且仅当“”时，取“”∴数·在区间上的最小值为5．故选：C．8．【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．根据所给条件化简得，结合为偶函数，，可计算得，，，，从而根据分别计算至的值，再计算的值即可．【解答】解：∵，∴又，∴，因为，，则，则，得，，，因为为偶函数，所以，所以，由，得，则，，，，，，∴．故选：C．9．【答案】【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由且，可得，而b与0的大小关系不确定，对选项逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵且∴，而b与0的大小关系不确定．∵且，∴，故A正确；∵，则，又，则，故B正确：∵，则，有，则，故D正确；∵和大小关系不确定，则的大小关系不确定，故C不恒成立．故选：．10．【答案】【解析】【分析】本题考查了必要不充分条件的应用，属于基础题．解出不等式的解集为R时a的范围，即，然后再根据必要不充分条件，即可求得答案．【解答】解：∵p：关于x的不等式的解集是R，∴，解得．∵故选：．11．【答案】【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、周期性、对数型复合函数的值域，属于中档题．由奇函数的定义可判断A，函数的值域M满足，即可判断B，由周期性可判断C，先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质可判断D．【解答】解：对于A、∵函数为奇函数，∴即∴，经检验，满足条件，故A错误；对于B、因为的值域为R，则函数的值域M满足则，解得，故B错误；对于C、函数满足，则故的周期为2，因为，则，故C正确；对于D、∵，由，得解得，即函数的定义域为．∴，又∵，∴，故函数的值域为，故D错误：故选12．【答案】【解析】【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，要注意应用条件的检验．【解答】解：对于A，由可得，由基本不等式可得，当且仅当即时取等号，所以的最大值为，故A正确：对于B，，当且仅当时等号成立，但此时x无解，等号无法取得，则最小值不为2，故B错误：对于C，由可得，当且仅当且，即时，等号成立，由于a，b，c均为正实数，则等号取不到，故C错误；对于D，由可得，代入到，当且仅当即时，等号成立，故D正确．故选：．13．【答案】11【解析】【分析】由指数幂及对数运算公式代入求解即可．本题考查了指数幂及对数运算公式的应用，属于基础题．【解答】解：．14．【答案】16【解析】【分析】本题考查了集合的运算，同时考查了集合的子集个数问题，属于基础题．由题意先确定集合M，N，再求，从而求子集的个数．【解答】解：∵，且∴，∴，故的子集有个．故答案为：16．15．【答案】【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，属于一般题．由，所以，化简利用基本不等式求最小值．【解答】解：因为，所以，，，当且仅当，即，有最小值，故答案为．16．【答案】【解析】【分析】本题考查了分段函数的应用，主要考查了分段函数的单调性问题，涉及了二次函数和指数函数单调性的应用，对于分段函数问题一般会选择数形结合的方法或是分类讨论的思想进行研究，属于中档题．由题意知，函数在R上为增函数，列式求解即可．【解答】解：由题意知，函数在R上为增函数，即解得，所以实数a的取值范围为．故答案为．17．【答案】解：（1）设公差为d，由，可得，解得∴：（2），∴数列{}的前n项和．【解析】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，以及裂项求和，属于中档题．（1）设公差为d，由，，可得，解得即可，（2），裂项求和即可．18．【答案】解：（Ⅰ），根据正弦定理得所以，由为锐角三角形得．（Ⅱ）由为锐角三角形知，，∴，所以由此有，所以，的取值范围为．【解析】本题主要考查了正弦定理的应用和三角函数中两角和公式的运用．涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握，属于基础题．（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得的取值范围．19．【答案】解：（1）因为，三棱柱是直三棱柱，所以，从而是四棱锥高，故四棱锥的体积为（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，设的中点为M，∵，∴平面，即是平面的一个法向量，设平面的一个法向量是∵∴，令，解得，则，设法向量与的夹角为β，二面角的大小为θ，显然θ为锐角，∵∴故二面角的大小为．【解析】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，属于基础题，（1）证明，说明是四棱锥的高，然后求解四棱锥的体积．（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，利用向量的数量积即可求解二面角的大小．20．【答案】解：（1）当时，函数，则∵，∴所求切线方程为，即；（2）函数，∵在R上单调递增，∴在R上恒成立，即在R上恒成立．令，令，则，∵当时，：当时，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴实数a的取值范围为【解析】本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．（1）把代入函数解析式，求导后得到，，利用点斜式方程得答案；（2）求出原函数的导函数，由在R上恒成立，得在R上恒成立，分离参数a后利用函数的导数求解函数的最值，即可求解实数a的取值范围．21．【答案】解：（1）甲与乙的比分是的概率为比分是的概率为，故前4球中，甲领先的概率（2）依题意，接下来由甲先发球．继续对战奇数球后，甲获得胜利，则甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．记比分为5：0为事件A，则，记比分为5：2为事件B，即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次，，故甲依题意获胜的概率为X的所有可能取值为3，5，由条件概率有，故X的分布列为X35P【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及离散型随机变量的分布列，属于难题．（1）分甲乙比分为4：0和3：1两种情况计算概率，然后再求和即可；（2）依题意，在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜．分别求出在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0和5：2的概率，再由条件概率即可求得X的分布列．22．【答案】解：（1）由题意知，解得，所以双曲线C的方程为．（2）当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，得，设，，则，由得，即即，即将代入上式并整理得即，故或．当时，直线方程为过定点；当时，直线方程为过点，与题意矛盾．当直线的斜率不存在时，经检验可知，不满足题意；综上，直线过定点．【解析】本题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查圆锥曲线中的定点问题，属于较难题．公众号：全元高考（1）由题意知，求解a和b即可；（2）分类讨论，当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，利用韦达定理求关于m的方程，从而求出直线所过定点．