安徽省宣城市2022-2023学年第二学期高二期末考试XC宣城高二数学答案

宣城市２０２２—２０２３学年度第二学期期末调研测试高二数学参考答案一、单选题（本题共８小题，每小题５分，共４０分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题 号１２３４５６７８答 案ＡＢＣＣＤＤＣＡ二、多选题（本题共４小题，每小题５分，共２０分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分）题 号９１０１１１２答 案ＡＤＡＢＤＢＣＤＡＣ三、填空题：（本题共４小题，每小题５分，共２０分）６３０１３（－３，－４） １４槡 １５（２－３，１）∪（１，２＋３） １６３槡槡１３四、解答题（本题共６小题，共７０分，其中第１７题１０分，其它每题１２分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）１７（本小题１０分）解：（１）（ａ＋ｃ）（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ）＝ｂｓｉｎＢ＋３ａｓｉｎＣ，由正弦定理得（ａ＋ｃ）２＝ｂ２＋３ａｃ，所以ｂ２＝ａ２＋ｃ２－ａｃ，ａ２＋ｃ２－ｂ２ａｃ１所以ｃｏｓＢ＝＝＝，２ａｃ２ａｃ２π因为０＜Ｂ＜π，所以Ｂ＝；……………………………………………………４分３π７（２）由（１）得Ｂ＝因为ＡＣ边上中线长为槡，ａ＝２，３２→１→→设ＡＣ中点为Ｄ，所以ＢＤ＝（ＢＡ＋ＢＣ），２→２１→２→２→→７１２２所以ＢＤ＝（ＢＡ＋ＢＣ＋２ＢＡ·ＢＣ），即＝（ｃ＋ａ＋２ｃ·ａ·ｃｏｓＢ），４４４７１所以＝（ｃ２＋４＋２ｃ·２·ｃｏｓＢ），４４π２又因为Ｂ＝，所以７＝ｃ＋４＋２ｃ，解得ｃ＝１，３１３３所以Ｓ＝ａｃｓｉｎＢ＝槡ａｃ＝槡……………………………………………１０分△ＡＢＣ２４２１８（本小题１２分）解：（１）当ｎ＝１时，ａ２＝Ｓ１＋３＝４，当ｎ≥２时，因为ａｎ＋１＝Ｓｎ＋３，①所以ａｎ＝Ｓｎ－１＋３（ｎ≥２）②ａｎ＋１①－②得ａｎ＋１－ａｎ＝ａｎ，即ａｎ＋１＝２ａｎ（ｎ≥２），所以＝２（ｎ≥２）ａｎ宣城市高二数学参考答案第１页（共４页）{#{QQABAYwAogigQBBAAQACAw0wCAGQkhACCIgOxAAYMEAACQFABCA=}ａ２又因为ａ１＝１，所以＝４，ａ１ｎ－２ｎ所以，当ｎ≥２时，｛ａｎ｝是以４为首项，２为公比的等比数列，所以ａｎ＝４×２＝２１，ｎ＝１所以ａ＝………………………………………………………………６分ｎ{２ｎ，ｎ≥２ａ１１（２）因为ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎ，所以，当ｎ＝１时，ｂ１＝ｌｏｇ２＝ｌｏｇ２＝０，ｎ０，ｎ＝１当ｎ≥２时，ｂ＝ｌｏｇａｎ＝ｌｏｇ２＝ｎ，所以ｂ＝ｎ２２ｎ{ｎ，ｎ≥２０， ｎ＝１所以ｃ＝，则数列｛ｃ｝的前ｎ项和为Ｔｎ{ｎ·２ｎ，ｎ≥２ｎｎ当ｎ＝１时，Ｔ１＝ａ１·ｂ１＝０２３ｎ－１ｎ当ｎ≥２时，Ｔｎ＝０×１＋２×２＋３×２＋…＋（ｎ－１）×２＋ｎ×２①３４ｎｎ＋１２Ｔｎ＝ ０×２＋２×２＋３×２＋…＋（ｎ－１）×２＋ｎ×２②，①－②得３３４ｎｎ＋１－Ｔｎ＝２＋２＋２＋…＋２－ｎ×２２３４ｎｎ＋１－Ｔｎ＝２＋２＋２＋２＋２＋…＋２－ｎ×２２（１－２ｎ）－Ｔ＝２＋－ｎ×２ｎ＋１ｎ１－２ｎ＋１所以Ｔｎ＝（ｎ－１）×２当ｎ＝１时，Ｔ１＝ｃ１＝０也满足ｎ＋１故数列｛ｃｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ＝（ｎ－１）×２…………………………………１２分１９（本题满分１２分）２２２２Ｃ２Ｃ３＋Ｃ３Ｃ３６６解：（１）由已知，有Ｐ（Ａ）＝４＝，所以事件Ａ发生的概率为…………４分Ｃ８３５３５（２）随机变量Ｘ的所有可能取值为１，２，３，４．１３２２３１Ｃ５Ｃ３１Ｃ５Ｃ３３Ｃ５Ｃ３３Ｐ（Ｘ＝１）＝４＝，Ｐ（Ｘ＝２）＝４＝，Ｐ（Ｘ＝３）＝４＝，Ｐ（Ｘ＝４）＝Ｃ８１４Ｃ８７Ｃ８７４０Ｃ５Ｃ３１４＝Ｃ８１４所以随机变量Ｘ的分布列为Ｘ１２３４１３３１Ｐ１４７７１４１３３１５所以Ｅ（Ｘ）＝１×＋２×＋３×＋４×＝……………………………１２分１４７７１４２２０（本小题１２分）（１）证明：在△ＡＢＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝４，因为Ｏ是ＢＤ的中点．所以ＯＡ⊥ＢＤ，且ＯＢ＝ＯＤ＝２，ＯＡ＝２槡３．在△ＢＣＤ中，因为ＢＣ２＋ＣＤ２＝ＢＤ２，所以ＢＣ⊥ＣＤ．因为ＢＣ＝ＣＤ＝２槡２，Ｏ为ＢＤ的中点．所以ＣＯ⊥ＢＤ且ＯＣ＝２．在△ＡＯＣ中，因为ＯＡ２＋ＯＣ２＝ＡＣ２，所以ＯＡ⊥ＯＣ．因为ＢＤ∩ＯＣ＝Ｏ，ＢＤ，ＯＣ平面ＢＣＤ，所以ＯＡ⊥平面ＢＣＤ……………５分（２）解：建立如图所示空间直角坐标系Ｏ－ｘｙｚ，Ａ（０，０，２槡３），Ｂ（０，－２，０）Ｃ（２，０，０），Ｄ（０，２，０），→→→ＤＣ＝（２，－２，０），ＡＢ＝（０，－２，－２槡３），ＡＤ＝（０，２，－２槡３），宣城市高二数学参考答案第２页（共４页）{#{QQABAYwAogigQBBAAQACAw0wCAGQkhACCIgOxAAYMEAACQFABCA=}#}→→→→→设ＤＥ＝λＤＣ，则ＤＥ＝（２λ，－２λ，０），ＡＥ＝ＡＤ→＋ＤＥ＝（２λ，２－２λ，－２槡３）设平面ＡＢＥ的一个法向量为ｍ→＝（ｘ，ｙ，ｚ），→→ｍ·ＡＢ＝０由得，→→{ｍ·ＡＥ＝０－２ｙ－２槡３ｚ＝０，令ｚ＝槡３，得ｙ＝{２λｘ＋（２－２λ）ｙ－２槡３ｚ＝０６→６－３，ｘ＝－３，所以ｍ＝－３，－３，３．λ(λ槡)取平面ＡＢＤ的一个法向量→ｎ＝（１，０，０），６－３→→λ３２所以ｃｏｓ３０°＝｜ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞｜＝＝槡，因为λ＞０，所以λ＝６２２３－３＋３＋９槡(λ)ＤＥ２所以＝………………………………………………………………………１２分ＤＣ３２１（本小题１２分）６１２２解：（１）因为点（槡６，１）在Ｃ上，所以２－２＝１①，由题意知２ｃ＝４，ｃ＝２，所以ａ＋ｂ＝４ａｂ②，ｘ２由①②解得ａ２＝３，ｂ２＝１，故双曲线Ｃ的方程为－ｙ２＝１…………………４分３（２）方法一：设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋２，ｘ＝ｍｙ＋２由ｘ２消去ｘ得，（ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０－ｙ２＝１{３－４ｍ１设Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ），则ｙ＋ｙ＝，ｙｙ＝，１１２２１２ｍ２－３１２ｍ２－３ｙｙｙｙ２ｙ２ｙ因为为ｋ＋ｋ＝１＋２＝１＋２＝１＋２＝ＢＭＢＮ３３１１２ｍｙ＋１２ｍｙ＋１ｘ－ｘ－ｍｙ＋ｍｙ＋１２１２２２１２２２８ｍｙ１ｙ２＋２（ｙ１＋ｙ２）２４ｍｙ１ｙ２＋２ｍ（ｙ１＋ｙ２）＋１８ｍ８ｍ－ｍ２－３ｍ２－３＝＝０，所以ｔａｎ∠ＭＢＦ＋ｔａｎ（π－∠ＮＢＦ）＝０，所以ｔａｎ∠ＭＢＦ＝４ｍ２－８ｍ２＋＋１ｍ２－３ｍ２－３ｔａｎ∠ＮＢＦ所以∠ＭＢＦ＝∠ＮＢＦ．……………………………………………１２分方法二：证明：当直线ｌ的斜率不存在时，Ｍ，Ｎ关于ｘ轴对称，结论显然成立当直线ｌ的斜率ｋ存在时，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－２），ｙ＝ｋ（ｘ－２）联立ｘ２消去ｙ得，（１－３ｋ２）ｘ２＋１２ｋ２ｘ－１２ｋ２－３＝０，显然１－３ｋ２≠０，－ｙ２＝１{３－１２ｋ２－１２ｋ２－３设Ｍ（ｘ，ｙ），Ｎ（ｘ，ｙ），则ｘ＋ｘ＝，ｘｘ＝，１１２２１２１－３ｋ２１２１－３ｋ２宣城市高二数学参考答案第３页（共４页）{#{QQABAYwAogigQBBAAQACAw0wCAGQkhACCIgOxAAYMEAACQFABCA=}#}ｙｙｋ（ｘ－２）ｋ（ｘ－２）因为ｋ＋ｋ＝１＋２＝１＋２ＢＭＢＮ３３３３ｘ－ｘ－ｘ－ｘ－１２２２１２２２７ｋ［２ｘｘ－（ｘ＋ｘ）＋６］１２２１２＝３９ｘｘ－（ｘ＋ｘ）＋１２２１２４７ｋ［２（－１２ｋ２－３）＋×１２ｋ２＋６（１－３ｋ２）］２＝＝０，３９－１２ｋ２－３＋×１２ｋ２＋（１－３ｋ２）２４所以ｔａｎ∠ＭＢＦ＋ｔａｎ（π－∠ＮＢＦ）＝０，所以ｔａｎ∠ＭＢＦ＝ｔａｎ∠ＮＢＦ所以∠ＭＢＦ＝∠ＮＢＦ．…………………………………………………………１２分２２（本小题１２分）解：（１）由题可知函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ－ｌｎｘ１２ｘ２＋ｘ－１（２ｘ－１）（ｘ＋１）ｆ′（ｘ）＝２ｘ＋１－＝＝ｘｘｘ１令ｆ′（ｘ）＝０得ｘ＝或ｘ＝－１（舍去）２１１１ｘ（０，）（，＋∞）２２２ｆ′（ｘ）－０＋ｇ（ｘ）单调递减极小值单调递增１１所以，ｆ（ｘ）在０，上单调递减，，＋∞上单调递增．……………………５分(２)(２)（２）ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ－ｌｎｘ，要证明ｆ（ｘ）＋ｅｘ＞ｘ２＋ｘ＋２，只用证明ｅｘ－ｌｎｘ－２＞０，１令ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ｌｎｘ－２，ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－，ｘ１１令ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－，即ｅｘ＝，可得方程有唯一解为ｘ（ｘ＞０且ｘ≠１），所以ｘｘ０００１ｅｘ０＝，ｘ０当ｘ变化时，ｇ′（ｘ）与ｇ（ｘ）的变化情况如下，ｘ（０，ｘ０）ｘ０（ｘ０，＋∞）ｇ′（ｘ）－０＋ｇ（ｘ）单调递减极小值单调递增ｘ０１所以ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（ｘ０）＝ｅ－ｌｎｘ０－２＝＋ｘ０－２，ｘ０１１因为＋ｘ－２≥２·ｘ－２＝０，因为ｘ≠１，所以不取等号，ｘ０ｘ０００槡０１即＋ｘ０－２＞０，即ｇ（ｘ）ｍｉｎ＞０恒成立，ｘ０所以，ｅｘ－ｌｎｘ－２＞０恒成立，所以，对ｘ＞０，ｆ（ｘ）＋ｅｘ＞ｘ２＋ｘ＋２成立……………………………………１２分宣城市高二数学参考答案第４页（共４页）{#{QQABAYwAogigQBBAAQACAw0wCAGQkhACCIgOxAAYMEAACQFABCA=}#}