高三开学摸底考试卷01（新高考I卷变式卷）（解析版）

高三开学摸底考试卷01（新高考I卷变式卷）选择题1．（2023春•米东区校级月考）已知集合，0，1，2，，，则 A． B．，0， C．，0，1， D．，0，1，2，【解析】，又，0，1，2，，．故选：．2．（2023春•横山区校级期中）已知复数满足是虚数单位），则的虚部是 A． B． C． D．【解析】，则，其虚部为．故选：．3．（2023春•顺德区校级期中）已知向量，，若，则的值为 A． B．1 C．2 D．1或2【解析】，，，，，解得．故选：．4．（2023春•梅河口市校级期末）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的函数是 A． B． C． D．【解析】根据题意，依次分析选项：对于，，其定义域为，有，为奇函数，设，则为减函数，而为增函数，故在上为减函数，符合题意；对于，，，不是奇函数，不符合题意；对于，，，不是奇函数，不符合题意；对于，，，不是奇函数，不符合题意；故选：．5．（2023•淄博模拟）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D．【解析】由直线方程可得，，则，又，即，根据相似三角形可得，，则，，故选：．6．（2023•全国Ⅱ卷模拟）已知直线，圆，若在直线上存在一点，使得过点作圆的切线，（点，为切点），满足，则的取值范围为 A．， B． C．，D．【解析】根据题意，圆化为：，圆心为，半径，过点作圆的两条切线，切点为，，连接，若，则，如图所示：又由，则，若直线上存在点，满足，则有到直线的距离，解得：，即的取值范围是，．故选：．7．（2023春•临川区校级期末）设等差数列的前项和为，首项，公差，，则最大时，的值为 A．11 B．10 C．9 D．8【解析】．首项，公差，，，．则最大时，的值为10．故选：．8．（2023春•分宜县校级月考）设，，，则，，的大小关系是 A． B． C． D．【解析】因为，，，因为，所以．故选：．二．多选题9．（2023•吉阳区校级开学）在某地区某高传染性病毒流行期间．为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是 A．平均数 B．平均数且标准差 C．平均数且极差小于或等于2 D．众数等于1且极差小于或等于4【解析】错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数，不符合指标，错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数，且标准差，不符合指标，对，若极差等于0或1，在的条件下，显然符合指标；若极差等于2且，则每天新增感染人数的最小值和最大值有下列可能：①0，2，②1，3，③2，4，符合指标，对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，故选：．10．（2023•扬中市校级开学）某食品的保鲜时间（单位：小时）与存储温度（单位：满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗忘在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，则下列结论正确的有 A．该食品在的保鲜时间是8小时 B．当，时，该食品的保鲜时间随着的增大而逐渐减少 C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内 D．到了此日14时，甲所购买的食品已经过了保鲜时间【解析】由题意，当时，保鲜时间小时，解得，对于，当时，，故选项正确；对于，当，时，时间不变，故选项错误；对于，由已知可得，在上午10点购买的该食品的保鲜时间是2小时，所以到了13点，已经过了保鲜时间，故选项错误；对于，由已知可知，在上午10点购买的该食品的保鲜时间是2小时，所以到了14点，已经过了保鲜时间，故选项正确．故选：．11．（2023•渝中区校级模拟）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法一定正确的是 A．是周期函数 B．的图象关于点对称 C．是上的偶函数 D．是上的奇函数【解析】，，即是周期为4的周期函数，故正确；由为奇函数，可知的图象关于点对称，因为周期是4，故正确；，，又的图象关于点对称，，即，，故是偶函数，故正确；举反例，如满足已知条件，但它是一个偶函数，故错误，故选：．12．（2023春•铜山区期中）在棱长为2的正方体中，点为的中点，点是正方形内部（含边界）的一个动点，则下列说法正确的是 A．存在唯一一点，使得 B．存在唯一一点，使得直线与平面所成角取到最小值 C．若直线平面，则点的轨迹长度为 D．若，则三棱锥的体积为【解析】对于，在正方体中，，，，所以平面，所以当在线段上时，都满足，此时点有无数个，故错误；对于，在正方体中，平面，所以是直线与平面所成的角，因为，且，，所以当直线与平面所成角取到最小时，最大，亦有最大，所以当且仅当点与重合时，最大，故正确；对于，分别取，的中点为，，连接，，，，在正方形中，因为，分别是，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，，所以平面平面，所以若直线平面，则点在线段上，点的轨迹长度即为线段的长度，在中，，故正确；对于，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，0，，由，得，，，，设平面的一个法向量为，则，即，可取，设点到平面的距离为，则，在中，，，则等腰底边上的高，，所以三棱锥的体积，故正确．故选：．三．填空题13．（2023春•连云港期末）从0，1，2，3这4个数字中选出3个不同数字能组成个 三位数．【解析】根据题意，三位数的百位数字可以为1、2、3，有3种情况，其十位数字有3种情况，其个位数字有2种情况，则可以有个三位数；故答案为：18．14．（2023•安徽模拟）已知正四棱台内接于半径为1的球，且球心是四边形的中心，若该棱台的侧棱与底面所成的角是，则该棱台的体积为 ．【解析】由题意球心是四边形的中心可知，侧棱与底面所成的角是，则，所以△是等边三角形，则棱台的侧棱长为1，棱台的高为，上底面边长，下底面边长为，所以该棱台的体积是．故答案为：．15．（2023•河南模拟）已知函数，周期为，且，则实数的最小值为 （用弧度制表示）【解析】依题意，由，得，则，即有，因此，所以的最小值为．故答案为：．16．（2023•泉州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的渐近线与圆在第一象限的交点为，线段与交于点，为坐标原点．若，则的离心率为 ．公众号：高中试卷君【解析】如图，联立，解得，为的中点，且，为的中点，则，，代入，得，整理得：，即．故答案为：．解答题17．（2023•福州模拟）已知函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．（1）求函数的单调递减区间；（2）记锐角三角形内角，，的对边分别为，，，已知，求的取值范围．【解析】（1）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到，则．当函数单调递增时，单调递减，故函数的单调递减区间为．（2），，，又为锐角，，．，．．为锐角三角形，即解得，，．的取值范围为．18．（2023春•南海区校级月考）如图所示，在四棱锥中；平面平面，，且，设平面与平面的交线为．（1）作出交线（写出作图步骤），并证明平面；（2）记与平面的交点为，点在交线上，且，求平面与平面夹角的正弦值．【解析】证明：（1）延长，交于点，连结，则直线即为所求作的直线．，，又，，即，分别为，的中点，，，，平面平面且交线为，且平面，平面，平面，，又，且平面，平面，平面，即平面．（2）取的中点，连结，则，又平面平面且交线为，且平面，平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图：则，0，，，1，，，0，，，0，，由，得，0，，则，0，，，1，，设平面的法向最为，，，则且，即，令，则，，即，，，则面的一个法向量，平面的一个法向量为，0，，则，则平面与平面所成角的正弦值．19．（2023•江油市模拟）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个不相同的零点，，设的导函数为．证明：．【解析】（1）的定义域为，且，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明：由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，要想有两个不相同的零点，，则（a），解得：，，故，要证，即证，即证：，因为在上单调递增，所以只需证，不妨设，，两式相减得：，变形为，下面证明在上成立，只需证，即，令，即证，构造，，则恒成立，故在上单调递增，故（1），所以，，故，即，所以，，证毕．20．（2023春•珠海校级期中）已知数列满足．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求的前项和．【解析】（1）证明：由，可得，即是首项为2，公比为2的等比数列，（2）由（1）知，，，因为，所以，所以．令，，两式相减可得，所以，所以，又，所以．21．（2023春•铜山区期中）甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若现在是甲以的比分领先，记表示结束比赛还需要打的局数，求的概率分布列及数学期望．【解析】（1）记比赛结束时恰好打了6局为事件，若甲胜，则，若乙胜，则．，所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；（2）所有可能的取值为2，3，4，5，，，，，的分布列为：2345．22．（2023•锦江区校级模拟）设椭圆过点，且左焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值．【解析】（1）令椭圆的半焦距为，依题意，，解得，，所以椭圆的方程为．（2）设点，，的坐标分别为，，，，，显然均不为零，依题意，令，有且，又，，，四点共线，从而，即，，，，，，于是，从而①，②，又点，在椭圆上，即③，④，①②并结合③，④得，即动点总在定直线上，因此直线方程为，由消去得，△，设，，，，则，于是，设，则点到直线的距离，其中锐角由确定，因此，当且仅当时取等号，所以的面积最大值为．