灌南高级中学2023-2024学年第一学期高三数学试卷（2）命题人：审核人：考试时间：120分钟总分：150分一、单选题1.设a，b，c为实数，且aab D.a2>ab>b22.设集合A={2,3,a2−2a−3}，B={0,3}，C={2,a}.若B⊆A，A∩C={2}，则a=( )A.−3 B.−1 C.1 D.33.已知p:x2−x <0，那么命题p的一个必要条件是( )A.00,b>0,4a+b=2，则1a+1b的最小值是( )A.4 B.92 C.5 D.96.设a=30.7，b=(13)−0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为( )A.a2，则方程f(x)+18x2=2根的个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6二、多选题9.已知a>0，b>0，且2a+b=ab，则( )A.ab≥8 B.a+b≤3+22 C.b>2 D.a>110.下列叙述中正确的是( )A.若m−2b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 C.若∃x∈[12,3]，使不等式x2−ax+1⩾0成立，则a⩽2 D.“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件11.已知函数fx为R上的奇函数，gx=fx+1为偶函数，下列说法正确的有( )A.fx图象关于直线x=−1对称 B.g2023=0 C.gx的最小正周期为4 D.对任意x∈R都有f2−x=fx12.下列说法正确的是( )A.若函数fx的定义域为0,2，则函数f2x的定义域为0,1 B.y=12−x2+1的最大值为12 C.y=x+1x+2的图象关于−2,1成中心对称 D.函数f(x)=log2(x2−4x−5)的减区间是−∞,2三、填空题13.计算：13lg 8−(π+1)0+2713+lg 50= ．14.已知−1⩽a+b⩽1，1⩽a−2b⩽3，则a+3b的范围是 15.已知集合A={x|2a+1⩽x⩽3a−5},B={x|x<0或x>19}.若A⊆(A∩B)，则实数a的取值范围是 ．16.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=−2xx+1,x∈[0,1),1−|x−3|,x∈[1,+∞),则函数F(x)=f(x)−1π的所有零点之和为 ．四、解答题17.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2acosA=−3ccosB+bcosC．(1)求角A；(2)若b=2，且ΔABC的面积为32，求a的值．18.在①a2+a3=a5−b1，②a2·a3=2a7，③S3=15这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，若________，数列{bn}满足b1=1，b2=13，anbn+1=nbn−bn+1．(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和Tn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC．(1)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值;(2)求二面角A−PC−B的余弦值．20.乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23．在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率．(2)假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望．21.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A(−1,0)，B(1,0)，离心率为2．(1)过右焦点F的直线l与双曲线C交于P，Q两点，且△BPQ的面积是322，求直线l的方程；(2)设点M，N在双曲线C的右支上，直线AM，BN在y轴上的截距之比为1:3，证明：直线MN过定点．22.已知函数f(x)=12ax2−lnx． (1)若a=1，求f(x)的极值． (2)若方程f(x)=1在区间[1,2]上有解，求实数a的取值范围． 答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，属基础题． A：作差判断不成立；B：c=0时不成立；C：作差判断不成立．【解答】解：对于A：1a−1b=b−aab>0，故1a>1b，故A不正确； 对于B：ac20.7>0， 则30.8>30.7>30，即b>a>1， 由函数y=log0.7x是R上的减函数，0.8>0.7， 则log0.70.80，b>0，2a+b=ab变形得 2b+1a=1， 所以a+b=(a+b)(2b+1a)=2ab+2+1+ba⩾3+22, 当且仅当2ab=ba，即b=2+2，a=2+1时，等号成立， 所以a+b⩾3+22，故B错误； 由2b+1a=1，a>0，b>0，所以0<2b=1−1a<1，即b>2，故C正确； 由2a+b=ab，可得(a−1)(b−2)=2>0， 根据前面分析得b>2，即b−2>0，所以a−1>0，即a>1，故D正确． 故选：ACD． 10.【答案】BD 【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条件的判断，一元二次不等式存在性问题，属于中档题． 根据必要条件、充分条件的定义判断ABD，根据不等式存在性问题的解法判断C即可．【解答】解：对于A，若m−2b，c=0时，不能推得ac2>bc2， 反之，若ac2>bc2，则c2>0，能推得a>b， 所以，“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，∃x∈[12,3]，使不等式x2−ax+1⩾0成立， 即a⩽(x+1x)max，x∈[12,3]， 因为对勾函数f(x)=x+1x在[12,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增， f(12)=521能推得1a<1， 反之，1a<1不能推得a>1，如a=−1， 所以“a>1”是“1a<1”的充分不必要条件，故D正确． 故选BD． 11.【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性以及对称性，周期性的判定，属于中档题． 结合奇偶性，对称性，以及周期性的特点逐项求解即可．【解答】解：由题意可知，f(x)图象的对称中心为(0,0)，对称轴为x=1， 所以f(x)也关于直线x=−1对称，且f(2−x)=f(x)，故A、D正确； 因为f(x)=f(2−x)=−f(−x)，故f(x+2)=f(−x)=−f(x)， 所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为4， 则g(2023)=f(2024)=f(0)=0，故B正确; 但只能说4是f(x)的周期，不能确实是其最小正周期，故C错误; 故选ABD． 12.【答案】AC 【解析】【分析】本题考查函数定义域、复合函数的单调性、函数的最值和函数的对称性，属于拔高题；