天津市南开中学2024届高三上学期第一次月考数学答案

2023-11-15 · 16页 · 848.3 K

2023-2024学年度高中数学期中考试卷考试时间:150分钟满分:150分命题人:魏菲审题人:马风格注意事项:1.本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时150分钟。2.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。答卷时,考生务必将答案填写在答题卡上,答在试卷上无效。3.祝各位考生考试顺利!第I卷(选择题)第I卷(选择题)注意事项:1. 每小题选出答案后,请填写在答题卡上,答在本试卷上无效。2. 本卷共11小题,每小题3分,共33分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。一、单选题1.设集合,则(    )A. B. C. D.2.已知R,则“”是“”的(    )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.著名数学家华罗庚先生曾经说过,“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”,如函数的图像大致是(    )A. B.C. D.4.已知,,,则A. B. C. D.5.设向量,,若,则等于(    )A. B. C. D.6.将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩小为原来的,再向左平移个单位,得到函数的图象,则下列说法正确的是(    )A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称C.过点 D.在区间上单调递增7.已知函数是定义在上的偶函数,且在单调递增,记,,,则a,b,c的大小关系为(    ).A. B. C. D.8.已知函数(,,)的部分图象如图所示,下列说法正确的是A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是9.已知函数,若函数有m个零点,函数有n个零点,且,则非零实数的取值范围是(    )A. B. C. D.第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题10.是虚数单位,复数的虚部是.11.在的展开式中,求含项的系数为.12..13.已知为正实数,则的最小值为.14.已知向量,记函数,若在上单调递增.则的取值范围为.三、双空题15.如图.在平面四边形中,,;若点为边上的动点,则的最小值为.四、解答题16.在中,,,分别是角,,所对的边,已知,,且.(1)求角;(2)求边的大小;(3)求的值.17.在中,角的对边分别是,且满足(1)求的值(2)若,且的面积,(i)求边的值;(ii)求的值.18.已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间;(2)将函数的图象向右平移个单位,得到的图象,求在区间的值域.19.已知函数的图象过点,.(1)求函数的解析式;(2)若函数区间上单调递减,求实数的取值范围;(3)设,若对于任意,都有,求的取值范围.20.已知函数,.(1)当时,求在处的切线方程.(2)讨论函数的单调性;(3)若对恒成立,求实数的取值范围. 参考答案:1.B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得,故,故选:B.2.A【分析】解出两个不等式,根据范围判断即可.【详解】由,得,由,得,即或;所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.3.D【分析】求出函数定义域,排除两个选项,再由函数值的正负排除一个,从而得正确选项.【详解】由得,即函数定义域是,排除AB,时,,,,时,,,,因此排除C,故选:D.4.C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【详解】,故故选C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,熟记指对函数的单调性与底的关系是关键,属于基础题.5.A【解析】由题可得,即可求出,再利用正切的二倍角公式即可求出.【详解】,,,,则,.故选:A.6.D【分析】利用函数图象变换可求得函数的解析式,利用正弦型函数的对称性可判断AB选项;计算出的值,可判断C选项;利用正弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩小为原来的,可得到函数的图象,再将所得图象向左平移个单位,可得到函数的图象,对于A选项,,A错;对于B选项,,B错;对于C选项,,C错;对于D选项,当时,,所以,函数在区间上单调递增,D对.故选:D.7.A【分析】先根据函数是定义在上的偶函数,得到,再利用在单调递增求解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数,所以,又因为,,,且在单调递增,所以,即,故选:A8.D【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再结合正弦函数的图象和性质,得出结论.【详解】由函数的图象可得A=2,,求得ω=2.在根据五点法作图可得2φ=π,求得φ,∴函数f(x)=2sin(2x).当时,f(x)=0,不是最值,故A不成立.当x时,f(x)=0=﹣2,不等于零,故B不成立.将函数2sin(2x)的图象向左平移个单位得到函数y=sin[2(x)]=sin(2x)的图象,故C不成立.当x∈[,0]时,2x∈[,].∵sin()=sin(),sin()=﹣1,故方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根时,则m的取值范围是,故D成立;故选D.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.9.C【分析】作出的函数图像,利用图像列出关于的不等式,解出的范围即可【详解】与与共交7个点图象如下:所以:(Ⅰ),解得(Ⅱ),解得综上:.故选:C10.【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算.【详解】.虚部为-2.故答案为:.11.28【分析】求出二项式展开式的通项,令x的次数为5求出对应的r的取值,从而可得其系数.【详解】二项式展开式的通项为,令,得,可得含项的系数为.故答案为:28.12./【分析】根据指数幂和对数的运算求解.【详解】,故答案为:.13..【解析】令,则,利用基本不等式即可求最值.【详解】解:令,则,当且仅当,即时,等号成立,故答案为:.【点睛】本题基本不等式求最值,其中换元法的使用让式子更简化直观,本题难度不大.14.【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,利用函数在区间内的单调性求的取值范围.【详解】向量,,由,当,有,则,依题意有,解得.所以的取值范围为.故答案为:.15.2【分析】利用余弦定理可求,设,利用数量积的运算律可用表示,利用二次函数的性质可求最小值.【详解】连接,因为,故,在中,,故.所以,所以,所以,故,而,所以为等边三角形,故且,延长交的延长线于,则设,则,故,,其中,故当时,有最小值.故答案为:.16.(1)(2)3(3)【分析】(1)由三角形中常用恒等式化简得到,从而求出;(2)在第一问的基础上,利用余弦定理进行求解;(3)余弦定理求出,从而求出,再用余弦的差角公式进行求解.【详解】(1)由可得:,∴,∴,又∵,∴,∴,又∵,∴.(2)由余弦定理可得:,即,解得:或-1∴(3)因为,,由余弦定理得:,所以,所以,,所以17.(1);(2)(i);(ii)【分析】(1)利用余弦定理化简已知条件,求得的值,进而求得的值.(2)(i)利用正弦定理化简已知条件,结合三角形的面积公式列方程,由此求得的值;(ii)由题意求出,再由正弦定理可得,根据二倍角公式以及两角差的正弦公式即可求解.【详解】(1)由题意,又因为,为内角,所以.(2)(i)因为,所以得,的面积,即,得,所以;(ii),因为,,解得,,又因为,,解得,因为,所以,,,.18.(1)最小正周期为,单调减区间为;(2).【分析】(1)辅助角公式化简函数式,由正弦函数性质求最小正周期和递减区间;(2)写出图象平移后的解析式,进而求区间值域.【详解】(1)由,则,所以的最小正周期为.由,解得,所以的单调递减区间为.(2)将函数的图象向右平移个单位,得到的图象,所以.当时,,,所以函数的值域为.19.(1)(2)(3).【分析】(1)根据函数过点代入求出的值,即可得解;(2)根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减且大于零恒成立,结合二次函数的性质得到不等式组,解得即可;(3)首先求出,再求出,依题意可得,即,设,利用单调性的定义证明的单调性,从而得到,结合单调性,即可求出参数的取值范围.【详解】(1)因为函数的图象过点,所以,所以,所以.(2)由于,所以在上单调递增,函数在区间上单调递减,由复合函数单调性可知,函数在上单调递减且大于零恒成立,则,解得,∴实数的取值范围.(3)因为且,所以且,因为,对称轴方程为,所以在上单调递减,在上单调递增,则的最大值是或.因为,即.所以,若,只需,即,则,设,任取,且,则,因为,所以,,,即,所以,所以,即,所以在区间上单调递增,且,所以,即,所以,即的取值范围是.【点睛】关键点睛:对于恒成立问题,常用到以下两个结论:(1)恒成立⇔;(2)恒成立⇔.20.(1)(2)答案见解析.(3)【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可;(2)求导得,再分和两种情况讨论求解即可;(3)根据题意将问题转化为对恒成立,再结合的单调性进一步转化为对恒成立,最后求解函数的最值即可得答案.(1)解:当时,,所以,,所以,即切线斜率为所以在处的切线方程为.(2)解:因为,,所以,令得,所以当,即时,在区间恒成立,函数在上单调递减;当,即时,时,,时,所以函数在上单调递减,在上单调递增,综上,当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递减,在上单调递增.(3)解:因为对恒成立,所以对恒成立,所以对恒成立,即对恒成立,设,则在上恒成立,所以函数在上单调递增,所以对恒成立,即对恒成立,设,则,所以在上恒成立,故函数在上单调递增,所以,所以,因为,所以,即实数的取值范围为

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