高考数学专题04 三角函数（新定义）（解析版）

专题04三角函数（新定义）一、单选题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角的弧度数，继而求得答案.【详解】设角所在的扇形的半径为r，则，所以，所以，故选：D．2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ）A．1 B．4 C．8 D．9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得，即.因为，所以，则，当且仅当时等号成立,故，故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示错误的是（    ）A．12-50 B．2-50 C．13-50 D．32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；【详解】解：因为，即，即，所以，所以，或，解得或对于A：密位制对应的角为，符合题意；对于B：密位制对应的角为，符合题意；对于C：密位制对应的角为，不符合题意；对于D：密位制对应的角为，符合题意；故选：C4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（    ）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56【答案】C【分析】将化为，根据新定义，取代入公式中，直接计算取近似值即可．【详解】由题意可得，，故，故选：．5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数，，当取到最大值时对应的x用密位制表示为（    ）A．15—00 B．35—00 C．40—00 D．45—00【答案】C【分析】利用导数研究在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定取到最大时x用密位制.【详解】由题设，，在时，在时，所以在上递增，在上递减，即，故取到最大值时对应的x用密位制表示为40—00.故选：C6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．【详解】解：当甲：错误时，乙：正确，此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），或，∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁．故选：D．7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设，定义运算，则函数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由定义先得出，然后分，两种情况分别求出的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得当时，即则，即此时当时，有最小值为当时，即则，即此时，所以的最小值为故选：B8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割及余割这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的．定义正割，余割．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得，可得，因为，则，因为，当且仅当时，等号成立，故.故选：D.9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差，则集合相对于的“正弦方差”为（    ）A． B． C． D．与有关的值【答案】C【分析】先确定集合相对于的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为把，，，代入上式整理得，.故选：C.10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】如图作三角形，先求出，再求出的值.【详解】如图，等腰三角形，,，取中点连接.，由题意可得，所以，所以，所以.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算，如果的图像的一条对称轴为满足等式，则取最小值时，函数的最小正周期为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，利用切化弦和同角三角函数关系转化成的二次方程，可求出的值，结合对称轴可求出，最后利用周期公式进行求解即可．【详解】，因为，所以，即，，所以，解得或（舍去），而，所以，即，而的图象的一条对称轴为，所以，即，，解得，，所以正数取最小值为，此时函数的最小正周期为．故选：．12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解.【详解】由题意可知，集合相对于的“余弦方差”代入公式可得因为所以原式，故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是A． B．C． D．【答案】A【分析】由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，所以的周期为，则，所以，由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得．【详解】由题意，的最小值是，又，由，得，，，时，，所以．故选：A．【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（    ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值．【详解】因为在区间，上是“凸函数”，所以得即：的最大值是故选：D.【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．二、多选题16．（2022·全国·高一专题练习）定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：依题意，因为，所以，所以，所以；故选：ABC17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（    ）A．与的最小正周期均为B．与的图象均关于直线对称C．的最大值是的最小值D．与的图象关于原点中心对称【答案】BD【分析】先求出，，结合函数与的图象即可求解【详解】设则，函数与的大致图象如下所示：对A，由图知，与的最小正周期均为2π；故A错误；对B，由图知，为函数与的对称轴，故B正确.对C，，由图知∶函数的值域为，函数的值域为，故C错误；对D，由图知，与的图象关于原点中心对称，故D正确；故选：BD.18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角和都是任意角，若满足，则称与“广义互余”若，则下列角中，可能与角“广义互余”的有（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由题可得，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可.【详解】若与广义互余，则，即．又由，可得．对于A，若与广义互余，则，由可得与可能广义互余，故A正确；对于B，若与广义互余，则，由可得  ，故B错误；对于C，综上可得，，所以，由此可得C正确，D错误．故选：AC．19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（    ）A．B．C．若，则D．函数的最大值为【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确；化简已知等式得到，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出求得结果，知C正确；利用诱导公式化简整理得到，由此可知最大值为，知D错误.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，，C正确；对于D，，当时，，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是（    ）A．函数在上是减函数B．函数的最小正周期为C．D．【答案】AC【分析】由余弦函数的单调性可判断A选项；验证得，可判断B选项；由定义的诱导公式可判断C选项；取，代入验证可判断D选项.【详解】因为，而在上是增函数，所以函数在上是减函数，故A正确；函数，所以，所以B错误；，故C正确；取，，，所以，故D错误,故选：AC.【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属