高考数学专题14 计数原理及随机变量及其分布【多选题】（解析版）

专题14计数原理及随机变量及其分布1．若，则m的取值可能是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BC【解析】根据题意，对于，有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8，则有1≤m≤8，若，则有，变形可得：m＞27﹣3m，解可得：m＞，综合可得：＜m≤8，则m＝7或8；故选：BC．2．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张红色 C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色【答案】ABD【解析】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张都不是红色”“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥．故选：ABD．3．设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A． B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值.因为，所以，故A正确；又，，故C正确；因为，所以，，故D正确，故选：ACD.4．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）A． B．C． D．18【答案】BC【解析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案，综合2种解法即可得答案．【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有种；（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有种；[来源:学。科。网]故选：BC．[来源:学科网ZXXK]5．1．对于二项式，以下判断正确的有（）A．存在，展开式中有常数项；B．对任意，展开式中没有常数项；C．对任意，展开式中没有的一次项；D．存在，展开式中有的一次项.【答案】AD【解析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。故答案选AD6.下列判断正确的是（）A．若随机变量服从正态分布，，则；B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件；C．若随机变量服从二项分布：,则；D．是的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】由随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则曲线关于x＝1对称，即可判断A；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B；运用二项分布的期望公式Eξ＝np，即可判断C；可根据充分必要条件的定义，注意m＝0，即可判断D．A．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝0.21，故A正确；B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；C．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（4，），则Eξ＝4×0.25＝1，故C对；D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D对；故选：ABCD．7．已知（a+b）n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】AB【解析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．∵已知（a+b）n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n＝8，故选：AB．8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A． [来源:学|科|网]B． C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件【答案】BD【解析】本题是概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键．本题在A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P（B）＝P（B|•A1）+P（B•A2）+P（B•A3），可知事件B的概率是确定的．易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，．故选：BD．9．已知随机变量X服从正态分布N（100，102），则下列选项正确的是（ ）（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）A．E（X）＝100 B．D（X）＝100 C．P（X≥90）＝0.8413 D．P（X≤120）＝0.9987【答案】ABC【解析】根据对称性，由题意可求出答案．∵随机变量X服从正太分布N（100，102），∴曲线关于x＝100对称，根据题意可得，P（90＜x＜110）＝0.6826，P（80＜x＜120）＝0.9544，∴P（x≥90）＝0.5+＝0.8413，故C正确；P（x≤120）＝0.5+．，故D错误．而A，B都正确．[来源:学+科+网]故选：ABC．