数学-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02(解析版)

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．若集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得：，解得：，由可得：，解得：或，所以，，所以故选：D.2．已知，则“”是“”的（    ）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】C【详解】因为，则等价于，又因为在定义域内单调递增，则等价于，即等价于，故“”是“”的充要条件.故选：C.3．已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由的定义域为，，则，即，所以，因为，所以函数在上单调递增，当，当，故函数的值域为.故选：C．4．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】易知，，，而，故，又因为，，故，即，所以，故选：D.5．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Koch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由个与它的上一级图形相似，且相似比为的部分组成，则称为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（    ）  A． B． C．1 D．【答案】D【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，则其相似的分形维数是，故选：D.6．已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【详解】，而，当且仅当，即取等.故选：C.7．若函数有两个极值点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数有两个极值点，又函数的定义域为，导函数为，所以方程由两个不同的正根，且为其根，所以，，，所以，则，又，即，可得，所以或（舍去），故选：C.8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，即有解，先求与相切时，过定点，的导数，设切点为，则由导数可知，所以，解得，即切点为，此时切线斜率，作出函数图象，如图，  由图象可知，当时，存在存在，使得成立.故选：B多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）9．下列结论中，所有正确的结论是（    ）A．若，则B．命题的否定是：C．若且，则D．若，则实数【答案】AB【详解】对A，，则，又，则，，故A正确；对B，命题的否定是：，故B正确；对C，，因为且，故，即，故C错误；对D，当，时，不成立，故D错误；故选：AB10．下列结论中，正确的是（    ）A．若，，则的最小值为8B．若，则函数的最小值为C．已知正数a，b满足，则D．已知，，且，则【答案】ACD【详解】对于A，因为，，所以，，且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故A正确；对于B，若，则，则，则，当且仅当，即时取等号，所以函数的最大值为，故B错误．对于C，因为正数a，b满足，所以，且，，所以，当且仅当时等号成立，故C正确.对于D，∵，，且，∴，∴，∴，当且仅当取等号，故D正确.故选：ACD．11．已知函数，令，则（    ）A．或时，有1个零点B．若有2个零点，则或C．的值域是D．若有3个零点，且，则的取值范围为【答案】BCD【详解】由函数，画出函数的图象，如图所示，由函数，则的零点，即，即函数与的交点横坐标，对于A中，当时，函数没有零点，所以A错误；对于B中，要使得函数有2个零点，即函数与有两个不同的交点，结合图象，可得或，所以B正确；对于C中，由函数的图象，可得函数的值域为，所以C正确；对于D中，由有3个零点，且，可得，由，即，所以，可得，又由，解得，所以的取值范围为，所以D正确.故选：BCD.    12．已知函数，，则（    ）A．函数在上存在唯一极值点B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为D．若，则的最大值为【答案】BCD【详解】对于A：，令，则，令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在单调递减，故，故在单调递增，函数在上无极值点，故A错误；对于B：，令，则，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，即，又时，，作出函数的图象，如图：  若函数有两个零点，得有两个实根，得函数的图象与直线有两个交点，由图可知，，故B正确；对于C：由B得：在上恒成立，则在单调递增，则不等式恒成立，等价于恒成立，故，设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，则实数的最小值为，故C正确；对于D：若，则，即，∵，∴，，，由A知，在上单调递增，故，所以，设，则，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，故，此时，故的最大值是，故D正确；故选：BCD三、填空题（每小题5分，共计20分）13．已知函数，则的值为______.【答案】7【详解】由题意，函数，则.故答案为：.14．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为________．【答案】2【详解】函数，求导得，依题意，，又，消去a得：，而，解得，所以的值为2.故答案为：215．已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是__________．【答案】【详解】因为命题，使得“成立”为真命题，当时，，则，故成立；当时，，解得：；当时，总存在；综上所述：实数a的取值范围为.故答案为：16．设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】设，则有且只有4个根.当时，,当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，.当时，，，当时，，，故函数的图象如图所示：因为，由图可知.故答案为:.四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）17．设全集，，．(1)当a＝1时，求，；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【详解】（1）令可得，解得，所以，或当时，，所以，或.（2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，又，所以，解得，故实数a的取值范围为．18．已知函数（a，b为常数）且方程有两个实根为．(1)求函数的解析式；(2)设，解关于x的不等式：．【详解】（1）将代入，可得：，解得，则，因为，则，即符合题意，所以.（2）由（1）可得：，整理得，则，令，解得或或，且，可得或，所以不等式的解集为.19．已知（实数为常数）．(1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由；(2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围．【详解】（1）当时，，则或，解之得或，即，显然定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；（2）当时，，为单调递增函数，故，令，则，故，由对勾函数的性质可知在上单调递减，故，所以，即的取值范围为.20．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．  (1)如上图所示，分别写出国内市场的日销售量、国外市场的日销售量与第一批产品A的上市时间t的关系式；(2)第一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？【详解】（1）当时，设，则有，解得，所以，当时，设，则有，解得，所以，综上，设，则有，解得，所以；（2）设每件产品的利润为，日销售利润为，当时，设，则有，解得，所以，当时，，综上，所以，当时，，所以函数在上递增，所以，当时，，则，当时，，综上所述，，所以第天这家公司的日销售利润最大，最大是万元.21．已知函数．求的单调区间．【详解】当时，,,的单调递增区间是，单调递减区间是．当时，,当时，,的单调递增区间是和，,单调递减区间是．当时，,的单调递增区间是．当时，得单调递增区间是和，单调递减区间是.22．已如．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)判断极值点个数，并说明理由；(3)解不等式．【详解】（1）函数的定义域为，导函数，所以，，所以曲线在点处的切线斜率为1，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则，令，可得，又为上的增函数，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，，，所以存在使得，当时，，即，函数在上单调递增，当时，，即，函数在上单调递减，当时，，即，函数在上单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数有两个极值点；（3）因为函数在上单调递增，，，所以当时，不等式的解为，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的最小值为，因为，，所以，所以当时，不等式的解为，所以不等式的解集为.公众号：高中试卷君