数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03（解析版）

2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）03数学本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分式不等式求解即可化简,进而根据集合的交集即可求解.【详解】由，得，即，所以．又，所以．故选:B．2．在中,若,且,则（    ）A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】C【分析】根据,利用两角和的正切公式可得,即可得,根据即的范围可得,进而可求得.【详解】解:因为,所以,即,因为B,C为的内角,所以,即,所以,,因为,所以,即,所以.故选:C3．已知一组数据3，5，7，x，10的平均数为6，则这组数据的方差为（    ）A． B．6 C． D．5【答案】C【分析】先根据平均数公式求出x，再利用方差公式求解.【详解】由题意得，得所以这组数据的方差故选：C4．已知函数.给出下列结论：①是的最小值；②函数在上单调递增；③将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是（    ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可判断①②，根据平移变换的原则即可判断③.【详解】，对于①，，是的最小值，故①正确；对于②，当时，，所以函数在区间上不具有单调性，故②错误；对于③，将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得，故③正确，所以正确的有①③.故选：B.5．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，点为准线与轴的交点，若，则四边形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线的定义可得是正三角形，设，根据几何性质求得点坐标，从而可得直线的方程，联立直线与抛物线可求得点坐标，按照面积分割即可得四边形的面积.【详解】如图，不妨设点在轴上方，由抛物线的定义可知，因为，所以，所以是正三角形.由可知，设，因为，所以.所以.所以点的坐标为，所以直线的方程为，整理得.由，得，解得.将代入直线的方程，得，所以点的坐标为.所以.故选：.6．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（   ）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件C． D．【答案】D【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A，B分别发生的情况数与事件A，B同时发生的情况数，得到，判断出A错误，同理可得B错误；利用条件概率求解公式得到C错误，D正确.【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有种方法，事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有种，若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有种，共有种，∴，同理，若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有种，∴，故事件A与B不相互独立，A错误；同理可得，，若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况，综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有种，故，B错误；，D正确；事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有种，若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有种，共有种，∴，若事件A，C同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况，综上：事件A，C同时发的情况有种，∴，，C错误；故选：D7．三棱锥中，平面，.若，，则该三棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，其中，利用勾股定理可求得，并求出的面积，利用锥体的体积公式以及基本不等式可求得结果.【详解】设，其中，如下图所示：因为平面，平面，所以，，因为，所以，，又因为，所以，，由可得，，，当且仅当时，即当时，该三棱锥体积取最大值为.故选：D.8．函数的大致图像为（    ）A．  B．    C．  D．  【答案】B【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD，再由可排除C，即可得到结果.【详解】因为，其定义域为，所以，所以为偶函数，排除选项A，D，又因为，因为，所以，所以，排除选项C.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知O为坐标原点，点，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，因为，，，所以，，故是正三角形，则，故A正确；对于B，因为是正三角形，是的外心，所以是的重心，故，即，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，则，所以，故D错误.故选：ABC．.10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（    ）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为【答案】AC【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，求出，即可判断选项A正确；利用公式计算即可判断选项BCD的真假得解.【详解】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；圆台的体积，则选项错误；圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．11．已知向量，的夹角为，，，，则（    ）A．在方向上的投影向量的模为B．在方向上的投影向量的模为C．的最小值为D．取得最小值时，【答案】AD【分析】AB选项，利用投影的定义求解判断；CD选项，利用数量积的运算律求解判断.【详解】因为在方向上的投影向量的模为，故A正确；因为在方向上的投影向量的模为，故B错误；，当时，取得最小值，此时，所以，故C错误，D正确．故选：AD12．已知函数，则（    ）A．的单调递减区间是 B．有4个零点C．的图象关于点对称 D．曲线与轴不相切【答案】CD【分析】对A直接求导，令导函数小于0，解出即可，对B，通过求出极大值和极小值，结合其单调性即可判断，对C选项利用函数奇偶性和函数平移的原则即可判断，对D，利用函数极大值、极小值的符号即可判断.【详解】A选项：易知的定义域为，，令0，解得或，所以的单调递减区间为和，A错误；B选项：令，解得或，所以在，和上单调递增，所以当时，取得极大值，因为，且在上单调递减，所以在上没有零点，当时，取得极小值，因为，所以在上至多有两个零点，B错误；C选项：设，函数定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，所以的图象关于原点对称，将的图象向下平移2个单位长度得到的图象，所以的图象关于点对称，C正确；D选项：因为的极小值，极大值，所以曲线与轴不相切，D正确.故选：CD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的图象在点处的切线方程是______．【答案】【分析】求得函数的导数，求得和的值，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题可得，，，，故所求切线方程为，即．故答案为：．14．若，则______．【答案】【分析】由，求出，.利用和差角公式求出，再用二倍角公式即可求解.【详解】因为，，所以由可得：，.因为，所以.同理：.所以.因为，所以，所以，所以.故答案为：.15．已知是等比数列，，，则______．【答案】【分析】根据等比数列通项公式基本量计算得到公比，从而得到为公比为的等比数列，首项为8，利用求和公式求出答案.【详解】设的公比为，则，解得：，故，所以，故，则为公比为的等比数列，首项为，所以则故答案为：16．已知函数的最小正周期为T，，且对任意的恒成立，则一个满足题意的的值是______.【答案】5（答案不唯一）【分析】根据给定条件，结合辅助角公式求出，再利用恒成立的不等式求出的表达式作答.【详解】依题意，，而，则，又，因此，因为对任意的恒成立，于是函数在处取得最小值，即，，解得，，又，所以，，取，得.故答案为：5四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤17．已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算，再由商数关系计算；（2）先由二倍角公式计算和，再代入和差角公式计算即可.【详解】（1），，（2）由（1）得，所以，，所以18．已知抛物线，点为抛物线焦点．过点作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛物线于点与点，过点作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于、．(1)若直线斜率为k，证明抛物线在点处切线斜率为；(2)过点作直线分别交x轴和抛物线于、，过点作直线分别交x轴和抛物线于、，且，直线斜率与直线斜率互为相反数．证明数列为等差数列．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设，可用点的坐标表示，根据斜率关系可得的关系，根据导数求出点处切线斜率，从而可证抛物线在点处切线斜率为；．（2）设，根据题设的共点的直线的斜率关系可得，从而可证、为等差数列，故可证为等差数列．【详解】（1）设则，同理．，即，，．当时，，∴抛物线在点处切线斜率为，得证．  （2）设，故直线，令，则，故，同理．当时，故，当时，同理有，∵，故，整理得到：，因此，由可得，故，因此，即为等差数列，设其公差为．而，故，其中．又直线，因该直线过，故，解得，故，∴，故，而，故，∴为等差数列，设其公差为．故，故当时，，该数为常数．当时，，该数为常数，而，故，故，故对任意的，为常数，故数列为等差数列．19．如图，在四棱锥中，，，，，，，.(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）通过勾股定理，证明出可证得平面.（2）作，垂足为H，连结，证得为与平面所成的角，在中求即可.【详解】（1）∵，，，由勾股定理得：，中，，∵，∴，又因为底面，底面，所以，又因为且平面，∴平面，（2）作，垂足为H，连结，因为平面，平面，所以，又因为且平面，所以平面，所以为与平面所成的角，中，，，所以直线与平面所成角的余弦值为.20．记为数列的前n项和，已知．(1)若数列为等差数列，且，求；(2)在（1）的条件下，若，求数列的前n项和；(3)在（1）的条件下，证明：当时，．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由已知可得，，然后即可根据等差数列的前n项和公式，即可得出答案；（2）由（1）可推得，然后根据错位相减以及等比数列的前n项和公式，即可得出答案；（3）由（1）可推得，进而可得当时，.裂项求和即可得出证明.【详解】（1）由已知，所以，所以，．（2）由（1）可知，，，所