湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高三上学期开学考试 数学

衡阳市八中2024届高三暑期检测数学试题注意事项：本试卷满分150分，时量为120分钟第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．若，则（    ）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数，若，则（    ）A． B． C． D．4．已知，则（    ）A． B． C．D．5．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．6．八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八边形，设其边长为，中心为，则下列选项中不正确的是（    ）A．B．C．和是一对相反向量D．7．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:时，.若数列，则下列结论:①的函数图像关于直线对称；②；③；④；⑤.其中正确的是（    ）A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤8．已知函数，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）9．根据国家统计局数据显示，我国2010~2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．2010~2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加B．可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万C．2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数D．2019年我国研究生在校总人数不超过285万10．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．B．函数的零点为C．函数图象的对称轴为直线D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为11．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱的中点，则（    ）A．直线为异面直线 B．C．直线与平面所成角的正切值为 D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为912．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（    ）A．若，则双曲线的离心率B．若是面积为的正三角形，则C．若为双曲线的右顶点，轴，则D．若射线与双曲线的一条渐近线交于点Q，则第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知展开式中，所有项的二项式系数之和为，则．（用数字作答）14．已知，为单位向量，且在方向上的投影为，则．15．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为．16．若函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是.四、解答题（本题共6个小题，共70分）17．已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.18．如图，已知平面四边形存在外接圆，且，，．  (1)求的面积；(2)求的周长的最大值．19．在四棱锥P-ABCD中，侧面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形，．（1）求证：平面PBD：（2）设E为侧棱PC上异于端点的一点，，试确定的值，使得二面角E-BD-P的余弦值为．20．甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立.(1)若，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；(2)当时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值.21．已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切.(1)求的方程；(2)设点是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，求的内切圆半径的范围.22．已知函数，且，．(1)讨论的单调性；(2)若，函数有三个零点，，，且，试比较与2的大小，并说明理由．