四川省成都市树德中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题（原卷版）

树德中学高2021级高三上期开学考试数学试题（文）时间：120分钟满分：150分命题人：廖游宇审题人：唐颖君一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.若为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.已知向量，，且，则（）A. B.C. D.4.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个图中阴影部分的面积为A. B. C. D.5.已知矩形ABCD中，，现向矩形ABCD内随机投掷质点P，则满足为锐角的概率是（）A. B. C. D.6.在如图所示的程序框图中，程序运行的结果为3840，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A. B. C. D.7.若命题，；命题，，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.8.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.9.（）A. B. C. D.210.已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（）A. B.C. D.11.已知函数．若对任意，存在，使成立，则m的取值范围是（）A. B.C. D.12.对于函数，若存在非零实数,使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题卷相应横线上．13.设满足约束条件，则的最大值为__．14.在中，角所对的边分别为，则的面积为__________.15.如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是______．16.已知A、B是椭圆与双曲线的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N．若MN过椭圆的焦点F，且，则双曲线的离心率为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；（2）统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份元月2月3月4月5月销售量（万辆）0.50.6101.41.7预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？附：对于一组样本数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．18.如图，梯形中，，为中点，且，，将沿翻折到，使得．连接．（1）求证：；（2）为线段上一点，若，求三棱锥体积．19.在数列中，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．20.已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）P为椭圆C在第一象限内部分上的一点，过点P作圆的两条切线，分别交y轴与D，E两点，且，求点P的坐标．21.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若当时，，求取值范围．（3）若存在实数、，使得恒成立，求最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.直角坐标系xOy中，点，动圆C：.（1）求动圆圆心C的轨迹；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为：，过点P的直线l与曲线M交于A，B两点，且，求直线l的斜率.23.已知函数，．（1）求函数的最小值；（2）设，求证：．