2023-2024学年度江苏南京8月六校联考数学答案

2023-11-24 · 6页 · 531.4 K

2023—2024学年第一学期8月六校联合调研试题高三数学答案一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1-4:BBDC5—8:ABCB二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.9.AC10.ABC11.BD12.AC三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.1601213.-;14.(,-);15.(-∞,1];16.25-122.2755四、解答题:本大题共6小题,共70分217.解:(1)∵Sn=an+n-12∴当n≥2时,Sn-1=an-1+(n-1)-1……………………2分两式相减得:an=an-an-1+2n-1,即an-1=2n-1,……………………4分∴an=2n+1且a1=3符合,∴{an}的通项公式为an=2n+1……………………5分11(2)由(1)可知bn==,an2n+111111∴bb+==(-)……………………8分kk12k+12k+322k+12k+3111111111∴T=bb+bb+…+bb+=(-)+(-)+…+(-)n1223nn123525722n+12n+3111n=(-)=……………………10分232n+33(2n+3)18.解:(1)选①,(a+c)(sinA-sinC)+(b-a)sinB=0,由正弦定理得(a+c)(a-c)+(b-a)b=0,即a2+b2-c2=ab……………………2分a2+b2-c21∴cosC==……………………4分2ab2π∵0<C<π∴C=……………………5分3选②,由23sinCcosC=1+2cos2C得23sinCcosC=2+cos2Cπ3sin2C-cos2C=2,sin(2C-)=16ππ11ππππ∵0<C<π∴-<2C-<∴2C-=∴C=……………………5分666623选③,由2sinB-sinA=2sinCcosA∴2sin(A+C)-sinA=2sinCcosA∴2sinAcosC+2sinCcosA-sinA=2sinCcosA∴2sinCcosA-sinA=0……………………3分∵sinA≠0,……………………4分1{#{QQABJYCEogAIQBAAARhCQQWwCgEQkBCCCIgOQAAEIAAByANABAA=}#}{#{QQABLYAl4giYwARACJ5qRUGkCwsQkJKDJAgOhQCEOARJiRNIFIA=}#}{#{QQABLYCAgggoQABAABgCQQHACgEQkBACAAgOABAIMAABCANABAA=}#}1π∴cosC=∵0<C<π∴C=……………………5分23π(2)解法一:由(1)可知C=,又c=4,由余弦定理得3C2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=16……………………6分a+b∴3ab=(a+b)2-16≤3()2……………………9分2即a+b≤8,当且仅当a=b=4时取等号……………………10分又a+b>c=4∴周长的取值范围为(8,12]……………………12分πabc解法二:由(1)知C=,又c=4正弦定理==3sinAsinBsinCab8得==……………………6分sinAsinB38∴周长=(sinA+sinB)+4,3π2π又B=π-(A+)∴0<A<,……………………7分338ππ周长=(sinA+sin(A+))+4=8sin(A+)+4,……………………10分336ππ5π1π又<A+<∴<sin(A+)≤166626∴△ABC周长的取值范围为(8,12]……………………12分19.证:在四棱锥P-ABCD中,∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥AD……………………1分∵AB⊥DA,AB∥CD∴CD⊥AD又∵CD∩PD=D∴AD⊥平面PCD……………………3分又∵AD平面PAD∴平面PAD⊥平面PCD……………………5分(2)由(1)得DA,DP,DC两两垂直∴D为原点,以DA,DP,DC所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,2{#{QQABJYCEogAIQBAAARhCQQWwCgEQkBCCCIgOQAAEIAAByANABAA=}#}{#{QQABLYAl4giYwARACJ5qRUGkCwsQkJKDJAgOhQCEOARJiRNIFIA=}#}{#{QQABLYCAgggoQABAABgCQQHACgEQkBACAAgOABAIMAABCANABAA=}#}则由题意:D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),→PC=(0,2,-2)→→由PM=λPC(0≤λ≤1)得M(0,2λ,2-2λ),……………………6分→∵PD⊥平面PCD∴平面ABCD的一个法向量为DP=(0,0,2)→设n=(x,y,z)为平面BDM的一个法向量,DB=(1,1,0),=(0,2λ,2-2λ)→n·DB=0x+y=0∴即→2λy+(2-2λ)z=0n·DM=0λλ令x=1,则y=-1,z=,n=(1,-1,)……………………8分1-λ1-λ3∵二面角M-BD-A的余弦值为-3λ1-λ31∴||=,解得λ=……………………10分λ322+()21-λ设直线BC与平面BDM所成角为θ,平面BDM的一个法向量为n=(1,-1,1)→又BC=(-1,1,0)→|n·BC|66∴sinθ==,即直线BC与平面BDM所成角的正弦值为……………………12分→33|n||BC|2(a2+b2)−4a2320.解:(1)由题意得cosABA==−,可得a2=4b2,122(a2+b2)5又2a−2b=4,b0,联立方程得:a=4,b=2,x2y2故椭圆方程为+=1.……………………4分164(2)证明:A1111PAQA+=−PAQ,根据向量加法与减法的几何意义可得A11PA⊥Q,即APAQ11=0,……………………5分设直线l的方程为:y=+kxm,k0联立椭圆方程,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−16=0,3{#{QQABJYCEogAIQBAAARhCQQWwCgEQkBCCCIgOQAAEIAAByANABAA=}#}{#{QQABLYAl4giYwARACJ5qRUGkCwsQkJKDJAgOhQCEOARJiRNIFIA=}#}{#{QQABLYCAgggoQABAABgCQQHACgEQkBACAAgOABAIMAABCANABAA=}#}=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−16)0,即16k2−m2+40设PxxQxy(1222,,,)(),则−8km4m2−16x+x=,xx=,……………………7分121+4k2121+4k2A1P=(x1+4,y1),AQ1=(x2+4,y2),A1112121212PAQxxy=+++=+++++(yxxkxmkxm4444)()()()()()22=++++++=(kxxkmxxm14160)1212()()将韦达定理式代入化简得,1248k2−32km+5m2=0,解得m=k或m=4k,……………………10分5此时均满足16k2−m2+40,当mk=4时,直线方程为ykxkkx=+=+44(),过点(−4,0)与A1重合,故舍去,12121212当m=k时,直线方程为y=kx+k=k(x+),过定点(−,0),555512故直线l过定点,定点为(−,0).……………………12分521.解(1)由题意,这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30+++=0.005500.015700.020900.0102064),即10点04分……………………3分(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005−0.015)2010=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,443122C61CC618CC643所以PX(===0)4,PX(=1)=4=,PX(===2)4,C1410C1021C7101304CC644CC641PX(=3)=4=,PX(===4)4,C1035C21010所以X的分布列为X012344{#{QQABJYCEogAIQBAAARhCQQWwCgEQkBCCCIgOQAAEIAAByANABAA=}#}{#{QQABLYAl4giYwARACJ5qRUGkCwsQkJKDJAgOhQCEOARJiRNIFIA=}#}{#{QQABLYCAgggoQABAABgCQQHACgEQkBACAAgOABAIMAABCANABAA=}#}18341P1421735210……………………6分183418所以EX()=++++=01234.……………………8分14217352105(3)由(1)可得=64,22222=−+−+−+−=(30640.150640.370640.490640.2324)()()(),所以=18.……………………10分估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数,也就是46T100通过的车辆数,由TN(,2),PTPT(−+−+)(22)PT(6418642180.8186−+=+=)22所以,估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为10000.8186819辆.……………………12分22.解(1)Fxexb()=−−x2,则Fxe()=−x2.令Fxe()=−x20,得xln2,所以Fx()在(ln2,+)上单调递增.令Fxe()=−x20,得xln2,所以在(−,ln2)上单调递减.……………3分(2)因为fxex()=+−x21,所以f(00)=,所以l方程为y=1.a依题意,−=1,c=1.于是与抛物线gxxxb()=−+22切于点(1,1),2由1212−+=b得b=2.所以a=−2,b=2,c=1.……………………7分(3)设h(x)=f(x)−g(x)=ex−(a+1)x−b,则hx()0恒成立.易得h(x)=ex−+(a1.)①当a+10时,因为hx()0,所以此时hx()在(−,+)上单调递增.的a)若a+=10,则当b0时满足条件,此时ab+−1;1b−b)若a+10,取x0且x,00a1+1−b此时h(x)=ex0−(a+1)x−b1−(a+1)−b=0,所以不恒成立.00a+1不满足条件;5{#{QQABJYCEogAIQBAAARhCQQWwCgEQkBCCCIgOQAAEIAAByANABAA=}#}{#{QQABLYAl4giYwARACJ5qRUGkCwsQkJKDJAgOhQCEOARJiRNIFIA=}#}{#{QQABLYCAgggoQABAABgCQQHACgEQkBACAAgOABAIMAABCANABAA=}#}②当a+10时,令hx()=0,得xa=+ln1(.)由hx()0,得xa+ln1();由hx()0,得xa+ln1(.)所以hx()在(−,l+n1(a))上单调递减,在(ln1(,a++))上单调递增.要使得“hxeaxb()=−+−x(10)恒成立”,必须有hxaaab=+−++−11ln10“当xa=+ln(1)时,()min()()()”成立.所以baaa+−++(11ln1)()().则a+b2(a+1)−(a+1)ln(a+1)−1.……………10分令Gxxxxx()=−−2ln1,0,则Gx(x)=−1ln.令Gx()=0,得xe=.由Gx()0,得0xe;由Gx()0,得xe.所以Gx()在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以,当xe=时,Gxe=−1.()max从而,当aeb=−=1,0时,ab+的最大值为e−1.……………………12分6{#{QQABJYCEogAIQBAAARhCQQWwCg

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