2023年全国高中数学联合竞赛加试（A）卷

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，是以AB为直径的固定的半圆弧，是经过点A及上另一个定点T的定圆，且的圆心位于ABT内．设P是的弧TB（不含端点）上的动点，CD,是上的两个动点，满足：C在线段AP上，CD,位于直线AB的异侧，且CDAB．记CDP的外心为K．证明：(1)点K在TDP的外接圆上；(2)K为定点．PTCΩABωD1{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}二．（本题满分40分）正整数n称为“好数”，如果对任意不同于n的正整22nm数，均有，这里，表示实数的小数部分．m22xxnm证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数．三．（本题满分50分）求具有下述性质的最小正整数k：若将1,2,,k中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数满足，或者存在个互不相同的蓝色的数xx12,,,x9xx12x8x910满足．yy1,,,2y10yy12y9y102{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}四．（本题满分50分）设a1104．在20232023的方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数．设第行的总和为，第列的总和为，[1,a]ixiiyiyyy1i2023．求122023的最大值（答案用含a的式子表示）．xx12x20233{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}