2023年全国高中数学联合竞赛一试（A）卷

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设复数z910i（i为虚数单位），若正整数n满足zn2023，则n的最大值为．2.若正实数ab,满足algb2，ablgablg5，则()ablgab的值为．3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为xyz,,，则事件“xyz”发生的概率为．CCC7774.若平面上非零向量,,满足，2||，3||，则||的最小值为．1{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}5.方程sinxxcos2的最小的20个正实数解之和为．6.设abc,,为正数，ab．若ab,为一元二次方程ax2bxc0的两个根，且abc,,是一个三角形的三边长，则abc的取值范围是．7.平面直角坐标系xOy中，已知圆与x轴、y轴均相切，圆心在椭圆xy22:1(ab0)内，且与有唯一的公共点(8,9)．则的焦距ab22为．2{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}8.八张标有ABCDEFGH,,,,,,,的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按DABECFGH,,,,,,,的次序取走卡片，但不可按DBAECFGH,,,,,,,的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为．ABCDEFGH二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy中，抛物线:4yx2，F为的焦点，AB,为上的两个不重合的动点，使得线段AB的一个三等分点P位于线段OF上（含端点），记Q为线段AB的另一个三等分点．求点Q的轨迹方程．3{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}（本题满分分）已知三棱柱的条棱长均相等．记底10.20:ABCA111BC9面所在平面为．若的另外四个面（即面）ABCABC111,,ABBA11ACCA11,BCCB11在上投影的面积从小到大重排后依次为23,33,43,53，求的体积．11.（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t：对任意ab,[1,t]，总存在cd,[1,t]，使得(acbd)()1．4{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}5{#{QQABCYSUggAoQBAAABhCAQGSCAGQkBECCIgOQBAAIAABSBFABAA=}#}