精品解析:福建省厦门第一中学海沧校区2024届高三上学期9月月考数学试题(解析版)

2023-11-24 · 22页 · 1.4 M

厦门一中海沧校区2024届高三数学9月月考卷2023.9.1一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、,利用并集的定义可求得集合.【详解】由,,故.故选:A.2.已知复数z满足,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简计算即可.【详解】由,则.故选:B.3.从长度为的5条线段中任取3条,则这3条线段能构成一个三角形的概率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列举法,列出5条线段中任取3条线段的所有情况,然后找出能构成三角形的情况,再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】从5条线段中任取3条,可能的情况有:,,,,,,,,,共有10种可能,其中,能构成三角形的只有,,共3种可能,所以能构成三角形的概率为.故选:A.4.已知关于的不等式的解集为,其中,则的最小值为()A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】由题意,得,且,是方程的两根,由韦达定理,解得;,由基本不等式得,从而可得,利用对勾函数性质可求解.【详解】因为的解集为,所以,且,是方程的两根,,得;,即,当时,,当且仅当,即时取等号,令,由对勾函数的性质可知函数在上单调递增,所以,的最小值为3.故选:D.5.已知把物体放在空气中冷却时,若物体原来的温度是,空气的温度是,则后物体的温度满足公式(其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数).某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中,冷却后牛奶的温度是,则下列说法正确的是()A.B.C.牛奶的温度降至还需D.牛奶的温度降至还需【答案】D【解析】【分析】运用代入法,结合对数的运算逐一判断即可.【详解】由,得,故,AB错误;又由,,得,故牛奶的温度从降至需,从降至还需.故选:D6.已知函数,则“”是“函数在处有极值”的()A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数,依题意可得,即可得到方程组,解得、再检验,最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解:因为,所以,所以,解得或;当时,,即函数在定义域上单调递增,无极值点,故舍去;当时,,当或时,当时,满足函数在处取得极值,所以,所以由推不出函数在处有极值,即充分性不成立;由函数在处有极值推得出,即必要性成立;故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件;故选:B7.已知,分别是椭圆()的左,右焦点,M,N是椭圆C上两点,且,,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,结合椭圆的定义,在中利用勾股定理求得,中利用勾股定理求得,可求椭圆C的离心率.【详解】连接,设,则,,,在中,即,,,,,,在中,,即,,,又,.故选:C.8.记,,,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可判断,再对两边取对数,由函数在单调递减,可得,从而得解.【详解】设,则在R上单调递增,故,即;由于,设,,则,,则在单调递减,故,即,则;综上得,,D正确.故选:D二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知一组样本数据、、、均为正数,且,若由生成一组新数据、、、,则这组新数据与原数据的()可能相等A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差【答案】BC【解析】【分析】利用极差的定义可判断A选项;利用平均数公式可判断B选项;利用中位数的定义可判断C选项;利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项,样本数据、、、的极差为,样本数据、、、的极差为,因为,则,故A错误;对于B选项,设样本数据、、、的平均数为,即,所以,样本数据、、、的平均数为,由可知,当时,两组样本数据平均数相等,故B正确;当时,样本数据、、、的中位数为,样本数据、、、的中位数为,同理可知当时,中位数相等,当时,样本数据、、、的中位数为,样本数据、、、的中位数为同理可知当时,两组数据的中位数相等,故C正确;对于D选项,设样本数据、、、的标准差为,样本数据、、、的标准差为,则,,因为,则,故,故两组样本数据的标准差不可能相等,故D错误.故选:BC.10.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象,则()A.在上是减函数 B.C.是奇函数 D.在上有4个零点【答案】ACD【解析】【分析】A选项,代入检验,得到在上单调递减,A正确;B选项,计算出,,两者不一定相等,C选项,根据函数平移变换求出,故C正确;D选项,令,得到,求出上,或或或,共4个零点,D正确.【详解】时,,由于在上单调递减,故在上单调递减,A正确;,,因为,由于与不一定相等,故与不一定相等,B错误;,故奇函数,C正确;令,解得:,,则,则或或或,解得:或或或,共4个零点,D正确.故选:ACD11.已知函数的图象是连续不间断的,函数的图象关于点对称,在区间上单调递增.若对任意恒成立,则下列选项中的可能取值有()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数为上单调递增,进而得到,利用参变分离和的取值范围求出的取值范围,进而求解.【详解】由函数的图象关于点对称且在区间上单调递增可得,函数的图象关于对称,函数为上单调递增,由可得,,也即,则有恒成立,即因为,所以,当时,得到恒成立;当时,则有,令,则,因为函数在上单调递增,且,所以,则,所以BC适合题意,AD不合题意.故选:BC.12.已知正四面体的棱长为2,下列说法正确的是()A.正四面体的外接球表面积为B.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值C.正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为D.正四面体在正四面体的内部,且可以任意转动,则正四面体的体积最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据正四面体的外接球、内切球、体积以及二面角等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】A.棱长为2的正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球半径相同,设为R,则:,所以,所以A对.B.设正四面体内任意一点到四个面的距离分别为,,,,设正四面体的高为d,由等体积法可得:,所以为定值,所以B对.C.设中点为D,连接,,则,则为所求二面角的平面角,,所以,所以正弦值为,所以C错.D.要使正四面体在四面体的内部,且可以任意转动,则正四面体的外接球在四面体内切球内部,当正四面体的外接球恰好为四面体内切球时,正四面体的体积最大值,由于正四面体的外接球与内切球半径之比为,所以正四面体的外接球半径为,设正四面体的边长为a,则,所以,故体积,所以D对故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中的系数为__.【答案】【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式,直接计算即可得到结果.【详解】展开式的通项公式为,令,则,所以的系数为.故答案为:14.已知函数,则使不等式成立的的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】分析给定函数的性质,利用函数的奇偶性、单调性解不等式得出结果.【详解】函数定义域为R,显然有,即函数是偶函数,当时,,令,,,,因,则,即,,有,在上单调递增,又在上单调递增,因此,在上单调递增,于是得,解得或,所以不等式成立的x的取值范围是.故答案为:.15.若定义域为的奇函数满足,且,则________.【答案】2【解析】【分析】利用赋值法及奇函数的定义,结合函数的周期性即可求解.【详解】由,得,所以,即,于是有,所以,即.所以函数的周期为.因为是定义域为的奇函数,所以,即.令,则,解得,所以.故答案为:.16.已知,,过x轴上一点P分别作两圆的切线,切点分别是M,N,当取到最小值时,点P坐标为______.【答案】【解析】【分析】,则,可看成点到两定点,的距离和,而两点在轴的两侧,所以连线与轴的交点就是所求点.【详解】的圆心为,半径,的圆心为,半径,设,则,所以,取,则,当三点共线时取等号,此时直线:令,则,,故答案为:【点睛】关键点点睛:此题考查直线与圆的位置关系,考查距离公式的应用,解题的关键是将问题转化为点到两定点,的距离和的最小值,结合图形求解,考查数形结合的思想,属于较难题.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.西梅以“梅”为名,实际上不是梅子,而是李子,中文正规名叫“欧洲李”,素有“奇迹水果”的美誉.因此,每批西梅进入市场之前,会对其进行检测,现随机抽取了10箱西梅,其中有4箱测定为一等品.(1)现从这10箱中任取3箱,求恰好有1箱是一等品的概率;(2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况,若从这一批西梅中随机抽取3箱,记表示抽到一等品的箱数,求的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列见解析,【解析】【分析】(1)根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算求得所求概率.(2)利用二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.【小问1详解】设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件,则;因此,从这10箱中任取3箱,恰好有1箱是一等品的概率为.【小问2详解】由题意可知,从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率,由题可知的所有可能取值为0,1,2,3,则,,,,所以的分布列为0123P.18.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求A;(2)若点D在边BC上,,,,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理边化角可得,,然后化简即可得出.根据的范围即可得出答案;(2)设,则,然后在和中,根据余弦定理推得.在中,由余弦定理可得.联立可解得,,然后根据面积公式即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理边化角可得,,整理可得,.因为,,所以有,所以.因为,所以.【小问2详解】设,则,在中,有.在中,有.又,所以,所以有.又,所以.在中,由余弦定理可得.又,,,所以有.联立,解得,所以,所以,.19.在平行四边形ABCD中,,,,过D点作于E,以DE为轴,将向上翻折使平面平面BCDE,连接CE,F点为线段CE的中点,Q为线段AC上一点.(1)证明:;(2)若二面角的余弦值为,求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)由平面与平面垂直的性质以及直线与平面垂直的判定定理即可得证;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求出答案.【小问1详解】证明:∵面面BCDE,面面,且,∴面BCDE,又面BCDE,∴,又在中,,则,又F为CE中点,故,且面AEC,,则面AEC,又面AEC,所以.【小问2详解】由(1)知,ED,EB,EA互相垂直,分别以ED,EB,EA为x,y,z轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系,其中,,,,则,,,不妨设,则,再设,分别是面ADQ、面EDQ的法向量,则分别满足与令,,得到,.由题意知,,解得,即.20.已知数列满足,.(1)判断数列是否是等比数列?若是,给出证明;否则,请说明理由;(2)若数列的前10项和为361,记,数列的前项和为,求证:.【答案】(1)数列成等比数列,证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)推导出,得到结论;(2)先得到,,从而得到,令,得到函数单调递增,且由特殊点函数值得到,,求出,当时,利用裂项相消法求和,得到.【小问1详解】数列成等比数列,证明如下:根据得,;,,,即数列成等比数列.【小问2详解】由(1)得,,,故,由,得.令,当时,单调递增,且,故,,,,,当时,,综上,知21.已知函数.(1)讨论函数的极值点;(2)若极大值大于1,求的取值范围.【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)【解析】【分析】(1)求出导函数,分类讨论明确函数的单调性,从而得到函数的极值点;(2)由(1),和时,无极大值,不成立;当时,当时分别利用极大值大于1,建立不等关系即可.【详解】(1)时,在单减,单增,极小值点为;时,在单增,单减,单增,极小值点为,极大值点为;时,在单增,无极值点

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