2024届湖南金太阳高三10月联考数学试题

高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列、平面向量，大题考查高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题，，则p的否定是（）A．，B．，C．，D．，2．定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．63．已知函数的图象在处的切线的斜率为，则（）A．的最小值为6B．的最大值为6C．的最小值为4D．的最大值为44．已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（参考数据：取）A．万元B．万元C．万元D．万元5．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（）A．B．C．D．6．设，，且，则（）A．B．C．D．7．已知函数，，则“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（）A．B．3C．5D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则（）A．的最小值为1B．，C．D．10．若正项数列是等差数列，且，则（）A．当时，B．的取值范围是C．当为整数时，的最大值为29D．公差d的取值范围是11．若函数的定义域为D，对于任意，都存在唯一的，使得，则称为“A函数”，则下列说法正确的是（）A．函数是“A函数”B．已知函数，的定义域相同，若是“A函数”，则也是“A函数”C．已知，都是“A函数”，且定义域相同，则也是“A函数”D．已知，若，是“A函数”，则12．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（）A．B．，函数有极值C．D．，函数为单调函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量在向量上的投影向量为，则________．14．若，，则________．15．若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是________，这50个整数元素之和为________．16．如图，已知平面五边形ABCDE的周长为12，若四边形ABDE为正方形，且，则当的面积取得最大值时，________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F，M分别是PB，CD，PD的中点．（1）证明：平面PAD．（2）求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．19．（12分）已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．20．（12分）某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码，第1个号码为a，第2个号码为b．设X是不超过的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商场代金券（若，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用．（1）已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；（2）求X的数学期望．21．（12分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点，．（1）求椭圆的方程．（2）设P是椭圆上一点（异于C，D），直线PC，PD与x轴分别交于M，N两点，证明在x轴上存在两点A，B，使得是定值，并求此定值．22．（12分）已知函数有两个零点，．（1）求a的取值范围；（2）证明：．高三数学试卷参考答案1．Ap的否定是，．2．B因为，，所以，故的元素的个数为4．3．C，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．4．D设第年的销售额为万元，依题意可得数列是首项为a，公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．5．C因为是奇函数，所以，则．又是偶函数，所以，所以．6．A因为，所以，所以，即．又，，所以，即或，即（舍去）．7．A令，得，所以曲线关于直线对称．令，得，所以曲线关于直线对称．因为真包含于，所以“曲线关于直线对称”是“曲线关于直线对称”的充分不必要条件．8．A如图，设，，设P是直线EF上一点，令，则，．因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值．设线段AB的中点为M，线段AC的中点为，连接MP，连接并延长使之与EF交于点，过M作，垂足为N．因为，，所以，，则．由，得，故的最大值为．9．ACD，A正确．因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误．因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确．因为，所以，所以，D正确．10．ABC当时，公差，，A正确．因为是正项等差数列，所以，且，所以公差d的取值范围是，D错误．因为，所以的取值范围是，B正确．，当为整数时，的最大值为29，C正确．11．BD对于选项A，当时，，此时不存在，使得．A不正确．对于选项B，由，的定义域相同，若是“A函数”，则对于任意，都存在唯一的，使得，则对于任意，都存在唯一的，使得，所以也是“A函数”．B正确．对于选项C，不妨取，，，令，则，故不是“A函数”．C不正确．对于选项D，因为，，是“A函数”，所以在上恒成立．又，所以，且，即对于任意，都存在唯一的，使得，因为，所以，由，解得．D正确．12．AD设函数，则，所以在上单调递减，B错误，D正确．从而，即，因为，所以，，所以，C错误，A正确．光速解法：取，满足且，则，，函数为单调函数．13．1向量在向量上的投影向量为，则，解得．14．因为，所以，所以，因为，，所以，，所以．15．；或1625不等式等价于不等式．当时，的解集为，不合题意；当时，的解集为，则50个整数解为，，…，5，6，所以，这50个整数元素之和为；当时，的解集为，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以，这50个整数元素之和为．综上，a的取值范围是，这50个整数元素之和为或1625．16．过点C作，垂足为F．设，则，因为，所以，则．由，，得．在中，．记的面积为S，则．设函数，则，令，得或．当时，；当时，．故当时，取得最大值，则S取得最大值，此时．17．解：（1）因为，所以．2分又，所以．3分因为，所以．4分又，所以，．5分（2）的面积，则．7分由，得，9分所以，故的周长为．10分18．（1）证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以，．1分又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以，，所以四边形ENDF为平行四边形，所以．3分因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．4分（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，．5分从而，，．6分设平面AMF的法向量为，则，令，得．8分设平面EMF的法向量为，则，令，得．10分．11分故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为．12分19．解：（1）当时，．1分当时，，3分即，4分当时，上式也成立，所以．5分当时，也符合，所以．6分（2）由（1）知．7分，8分，9分则，11分所以．12分20．解：（1）当时，该顾客能获得代金券．设“a是偶数”为事件A，，“”为事件B，则，2分，3分所以，所以当顾客抽到的a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为．4分（2）X可能的取值为0，1，2，3．当时，，则．5分当时，，若，则．对每一个a，b有种不同的取值，则共有种可能的取值．6分若，对每一个a，b有种不同的取值，则共有种可能的取值，所以．7分当时，．若，则．对每一个a，b有种不同的取值，则共有种情况．若，则，共有6种可能的取值．所以．9分当时，，只有，，这3种情况，所以．10分所以．12分21．（1）解：设椭圆方程为，1分则，解得，3分所以椭圆的方程为．4分注：若直接设得到，扣1分．（2）证明：设，，，直线，令，得．5分直线．令，得．6分．8分令，令，，得，，10分则．故存在和，使得是定值，且定值为．12分22．（1）解：令，得，则．2分令函数，则，因为在上单调递增，所以，即．3分令函数，则，则在上单调递减，在上单调递增，所以．4分因为当时，，当时，，5分依题意可得方程有两个不相等的正根，所以，即a的取值范围是．6分（2）证明：令函数，则，所以在上单调递减．7分因为，所以当时，；当时，．8分不妨假设，则由（1）知，所以，，所以，则，9分，则，10分所以，11分因为，所以．12分