山东省泰安市宁阳县第四中学2024届高三上学期10月月考 数学答案

高三上学期（数学）科第一次阶段性测试试题2023.10一、单选题（每题5分，共40分）1.设集合，，，则A.{2} B.{2，3} C.{-1，2，3} D.{1，2，3，4}【答案】D【解析】【分析】先求，再求．【详解】因为，所以.故选D．【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.函数定义域是（）A.[1，2] B.[1，2)C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数的定义域可知，被开方数大于或等于0，真数大于0，列不等式组，求解即可.【详解】由题意得解得故选：C【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了运算求解能力，属于基础题目.3.已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知有，即可求取值范围.【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，所以，解得.故选：D4.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用导函数研究函数的切线方程即可.【详解】由题意可得：，则曲线的斜率为，切线方程为：，即.本题选择A选项.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.5.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数，通过构造法，结合余弦函数的性质、反比例函数的性质进行求解即可.【详解】，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，因为，所以，于是有，设，因为函数在是单调递增函数，所以，因此当时，恒成立，只需，故选：D6.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）x1.992345.156.126y15174.04187.51218.01A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案【详解】由题中表格可知函数在上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，得到，再利用奇偶性和单调性判断即可.【详解】，则，奇函数在上为减函数，在上为减函数，，，即.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题.8.函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】判断的奇偶性，以及在上的函数值的符号，结合选项得出答案．【详解】解：∵的定义域为，关于原点对称，又∵，即函数是奇函数，∴的图象关于原点对称，排除A、D，当时，，，∴，排除B，故选C．【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题．二、多选题（每题5分，共20分）9.函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（）A.是函数的极值点B.是函数的最小值点C.在区间上单调递增D.在处切线的斜率小于零【答案】AC【解析】【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；故选：AC10.下列四个函数中，最小值为2的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式的适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解.【详解】对于A，当时，，，当即时，等号成立，所以的最小值为2，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，，当且时，等号成立，但，所以的最小值不为2，故C错误；对于D，，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为2，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11.设函数，对于任意的，下列命题正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确.【详解】对于A，，A正确；对于B，令，，则，，，，B错误；对于C，为定义在上的增函数，，C正确；对于D，，，D正确.故选：ACD.12.已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上是减函数C.D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.【详解】对于A，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则，因，所以，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，且，所以，所以，所以等价于，又在上是减函数，且，所以，解得，故D正确,故选:ABD．三、填空题（每题5分，共20分）13.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.【答案】0【解析】【分析】由题意转化条件为“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，结合偶函数的性质即可得解.【详解】若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即∀x∈(a，b)，f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，所以f(a＋b)＝f(0)＝0.【点睛】本题考查了函数奇偶性及特称命题真假性的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.14.已知幂函数在上是增函数，则实数________．【答案】0【解析】【分析】利用幂函数的性质直接求解．【详解】因为是幂函数，所以，得或．当时，在上是增函数，符合条件；当时，在上是减函数，不符合条件．故答案为【点睛】本题考查幂函数的概念和性质，属于基础题．15.设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．【详解】∵，∴．由题意知有大于0的实根，由，得，∵，∴，∴．故答案为︰．16.已知函数若是单调函数，则实数的取值范围是_________；若存在实数，使函数有三个零点，则实数的取值范围是________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据分段函数在定义域上单调递增，即可得到且，再数形结合法求出实数的取值范围，函数有三个零点等价于函数与的图象有三个交点，数形结合即可得解；【详解】解：因为函数在定义域内是单调递增函数，所以函数为单调递增函数，所以且，在同一坐标系下作出函数与的图象，由图可知，实数的取值范围为.函数有三个零点等价于函数与的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数与的图象，由图可知，当在轴的左方时，存在实数，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数有三个零点，实数的取值范围为.故答案为：；【点睛】本题考查分段函数性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(－∞，－4]∪【解析】【分析】根据一元二次不等式解法，求得p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，列出关于的不等式，即可求解.【详解】由题意，命题p，得x2－4ax＋3a2=(x－3a)(x－a)<0，当a<0时，3a0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，即x<－4或x≥－2.设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p是q的充分不必要条件，可知A是B的真子集，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或，又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中利用一元二次不等式的解法，求得集合命题中实数的取值范围是解答的关键，同时注意充分不必要条件的转化及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知函数．（1）试用单调性定义判断在上的单调性；（2）求函数在上的最值．【答案】（1）答案见详解；（2）最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断；（2）利用单调性求最值.【小问1详解】任取，且，则因为，且，所以，，，所以，所以，所以，即.所以在上单调递减.【小问2详解】由（1）知在上单调递减，所以，.所以函数在上的最小值为，最大值为.19.已知．（1）若，求的值域；（2）若在上单调递减，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；（2）根据复合函数单调性结合条件可得，进而即得.【小问1详解】若，则，因为，当且仅当时，等号成立，可知的定义域为，且在定义域内单调递减，可得，所以的值域为.【小问2详解】因为在定义域内单调递减，由题意可知：在上单调递增，且在上恒成立，可得，解得，所以a的取值范围.20.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.（1）当时，求函数关于的函数表达式；（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.【答案】（1）（2）当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.【解析】【分析】（1）根据题意得建立分段函数模型求解即可；（2）分段求得函数的最值，比较可得答案.【小问1详解】依题意，当时，；当时，是关于x的一次函数，假设，则，解得，所以.【小问2详解】当时，；当时，，当时，取得最大值.因为，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.21.已知函数在处有极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）对函数求导，根据函数在处取极值得出，再由极值为，得出，构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用导数研究函数在上的单调性，比较极值和端点值的大小，即可得出在上的最大值与最小值.【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，，由于在处有极值，则，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定义域是，，令，而，解得，由，得；由，得，则在区间上，，，的变化情况表如下：12