精品解析：广东省东莞市第四高级中学2024届高三上学期10月月考数学试题（解析版）

东莞四中2023-2024高三第一学期数学月考试题与答案一、单项选择题：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合B，再利用交集定义去求【详解】由，解得，则，所以.故选：C.2.已知，是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】由可得：，对两边同时平方可得，所以，所以”是“”的充要条件.故选：C.3.下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根据偶函数定义，结合函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A，定义域为，故是非奇非偶函数，A错，对于B，当时，在上为减函数，∴B不对，对于C，∵定义域为，且为偶函数，设，∵在上为增函数，在上为增函数，∴在上为增函数，∴C对.对于D，∵为奇函数，∴D不对.故选：C.4.在的展开式中，的系数是（）A. B.8 C. D.4【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算即可.【详解】的展开式通项为，取，则，系数为.故选：A5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A.升 B.升 C.升 D.升【答案】C【解析】【分析】设此等差数列为，公差为，由题意列方程求出，进而得解.【详解】设此等差数列为，公差为，由题意可得：则，联立解得故选：C．6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合函数的奇偶性及函数特殊值，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】因为，所以函数为奇函数，排除A，B选项，因为，排除C选项，故选：D7.已知,,，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，，由得，从而可得.【详解】因为，，，所以，，又因为，，所以，即.故.故选：D8.已知函数图像关于原点对称，其中，，而且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可.【详解】因为函数图像关于原点对称，且，即函数为奇函数，所以，故，当时，，有且只有一个最大值和一个最小值，由正弦函数的图象与性质可得.故选：B.二、多项选择题：9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.点是图象的一个对称中心C.在上单调递增D.将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象【答案】BC【解析】【分析】求正弦型函数最小正周期判断A；代入法验证是否为对称中心判断B；由函数在上递增求自变量x的对应区间判断C；根据平移写出平移后的解析式判断D.【详解】的最小正周期为，故A错误．，所以是图象的一个对称中心，故B正确．由，所以在上单调递增，C正确．的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，故D错误．故选：BC10.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（）A.从中任取3球，恰有2个白球的概率是；B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则；C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.【答案】AD【解析】【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，根据二项分布的期望公式可判断C，根据条件概率的计算可判断C，根据对立重复事件的概率可求D.【详解】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是,故A正确，对于B,从中有放回取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即，故B错误，对于C,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为，故C错误，对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为，没有取到白球的概率为，所以取球3次没有取到白球的概率为，.所以至少有一次取到白球的概率为，故D正确，故选：AD11.已知函数存在极值点，则实数a的值可以是（）A.0 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由题意可知，令，换元后可得，即，则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，由此可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，由题意可知，函数在定义域上存在极值点，得在有两个解，由可得，令，则，则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，对于二次函数，当时，，对于二次方程，即，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：ABD.12.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，，是正数，表示初始时刻种群数量，叫做种群的内秉增长率，是环境容纳量.可以近似刻画时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断正确的有（）A.如果，那么存在，；B.如果，那么对任意，；C.如果，那么存在，在点处的导数；D.如果，那么的导函数在上存在最大值.【答案】ABD【解析】【分析】解方程得到A正确，计算得到B正确，求导得到恒成立，C错误，构造，求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案.【详解】对选项A：，解得，，正确；对选项B：，，故，，故，即，正确；对选项C：，，故任意的，在处的导数，错误；对选项D：令，则，，令得，解得，令得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，那么的导函数在上存在极大值，也是最大值，正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，求导得到函数的单调区间进而求最值是解题的关键.三、填空题：13.在中，，，，则______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.【详解】在中，，，，由正弦定理，得.故答案为：14.某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有__________种(用数字作答)．【答案】24【解析】【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数.【详解】将丙、丁捆绑排列有种，再把他们作为整体与戊排成一排有种，排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有种，综上，共有种排法.故答案为：15.已知角的大小如图所示，则的值为________【答案】【解析】【分析】先根据图像求出正切值，然后分子分母同除构造正切结构，最后代入即可.【详解】由图可知，所以，故答案为：16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则______；______.【答案】①.55②.【解析】【分析】依题意可得，利用累计法求出，即可求出，根据正方形数可知，即可得到当时，，利用裂项相消法求和即可.【详解】根据三角形数可知，，则，，…，，累加得，所以，经检验也满足上式，故，则；根据正方形数可知，当时，，则.故答案为：；四、解答题：17.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理计算可得；（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得.【小问1详解】由余弦定理知，，所以，即，解得或（舍负），所以．【小问2详解】由正弦定理知，，所以，所以．【小问3详解】由余弦定理知，，所以，，所以.18.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得；（2）利用裂项相消法可求得，由可证得结论.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，解得：，.【小问2详解】由（1）得：，，，.19.小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.年份代码12345市场规模（单位：千亿元）1.301.401.621.681.80（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用样本相关系数加以说明（若，则线性相关程度较高，精确到0.01）；（2）建立关于的经验回归方程.参考公式和数据：样本相关系数，，，，，.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）由题中数据求出样本相关系数，可得答案；（2）由题中数据求出，，可得关于的经验回归方程.【小问1详解】由表知的平均数为，所以，，因为与的相关系数近似为0.98，说明与的线性相关程度较高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.【小问2详解】，，，，所以，所以关于的经验回归方程为.20.设正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用、的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得，即可证明.【小问1详解】因为，当时，，又，则；当时，，，两式相减，整理可得，又为正项数列，即，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.【小问2详解】由（1）可得，所以，所以，所以，所以.21.哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望.（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据求分布列的步骤求出分布列，根据数学期望公式求出数学期望；（2）根据贝叶斯公式可求出结果.【小问1详解】依题意得甲获得决赛资格概率为，乙获得决赛资格的概率为，的所有可能取值为，，，，所以的分布列为：012所以.【小问2详解】记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，则，，，，，，所以.甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.22.已知函数，其中为常数．（1）当时，判断在区间内的单调性；（2）若对任意，都有，求的取值范围．【答案】（1）判断见解析（2）【解析】【分析】小问1：当时，求出导数，判断导数在上正负，即可确定在上的单调性；小问2：由得，令，将参数区分为，，三种情况，分别讨论的单调性，求出最值，即可得到的取值范围.【小问1详解】当时，得，故，当时，恒成立，故在区间为单调递增函数.【小问2详解】当时，，故，即，即.令①当时，因为，故，即，又，故在上恒成立，故；②当时，，，故在上恒成立，在上单调递增，故，即在上单调递增，故，故；③当时，由②可知在上单调递增，设时的根为，则在时为单调递减；在时为单调递增又，故，舍去；综上：【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不