精品解析：辽宁省沈阳市重点高中联合体2023-2024学年高三上学期11月期中检测数学试题（解析版）

2023-2024学年度（上）联合体高三期中检测数学（满分：150分考试时间：120分钟）审题人：22中学张海丽注意事项：1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.复数在复平面内对应点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】按照复数的定义展开即可.【详解】，所以该复数在复平面内对应的点为，在第二象限故选：B.2.若全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合补集的定义计算求解即可.【详解】,.故选：A.3.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.21 B.18 C.14 D.12【答案】C【解析】【分析】由等差数列的性质，，，可求值.【详解】等差数列中，，得，则.故选：C4.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到，，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得，又由对数函数的性质，可得，所以.故选：D.5.已知单位向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直，可得其数量积为0，进而可求出，根据向量的夹角公式即可求出其夹角.【详解】因为，所以即，又因为向量，为单位向量，所以，所以，所以，故选：A6.已知直线是曲线的一条切线，则实数（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用切线的斜率，求解切点坐标，代入切线方程求解即可．【详解】曲线，可得，直线是曲线的一条切线，设切点横坐标为：，则切点纵坐标为，则，解得，.故选：D．7.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，从而可求得，然后再利用正切的二倍角公式求出，再利用两角差的正切公式可求得结果.【详解】因为锐角，所以.由可得，则，又，故，故选：A.8.已知定义在上的函数满足，且函数是偶函数，当时，有，则（）A. B.2 C. D.10【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性结合可得为周期函数，且周期为4，进而根据周期即可求解.【详解】由于为偶函数，所以，故，又，所以，因此，进而可得，所以为周期函数，且周期为4，，故选：B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知向量，，则（）A. B.向量，的夹角为C. D.向量与垂直【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算分别求解向量的数量积，模，夹角，验证向量垂直，逐项判断即可得结论.【详解】对A，，，，故A错误；对B，，又，向量，的夹角为，故B正确；对C，，，故C错误；对D，，，故D正确.故选：BD.10.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.点是函数图象的一个对称中心D.直线是函数图象的对称轴【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根据图象得到函数最小正周期，进而得到；B选项，将代入解析式，求出；C选项，，C正确；D选项，计算出，故D正确.【详解】A选项，设的最小的正周期为，由图象可知，，解得，因为，所以，A正确；B选项，将代入中得，，故，即，因为，所以只有当时，满足要求，故，B错误；C选项，，故，故点是函数图象的一个对称中心，C正确；D选项，，故直线是函数图象的对称轴，D正确.故选：ACD11.若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】ABC【解析】【分析】先求得函数的极小值点，再根据函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值求解.【详解】解：因为函数f(x)＝3x－x3，所以，令，得，当或时，，当时，，所以当时，取得极小值，则，解得，又因为在上递减，且，所以，综上：，所以实数a的可能取值是0，1，2故选：ABC12.已知正实数x，y满足，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式可知，，即，所以选项A正确；而可判断B错误；将展开并结合可知C错误；观察D项分母可知，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D正确.【详解】对于A，基本不等式可知，即，所以，即；当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，根据不等式，当且仅当时，等号成立；所以B错误；对于C，，当且仅当时，等号成立；故C错误；对于D，根据，观察分母可知为定值，则，当且仅当时，等号成立；故D正确.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】，即转化为，恒成立，只需即可得解.【详解】由题意，为真命题，即，恒成立，令，，对称轴为，所以函数在上递减，在上递增，结合对称性可得，即可，实数的取值范围是.故答案为：.14.已知在中，角，，的对边分别为，，，若向量，，且，则角的度数为________.【答案】【解析】【分析】由向量共线的坐标运算和余弦定理求解.【详解】向量，，由，有，即，由余弦定理，，由，则有.故答案为：15.已知等比数列中，，则满足成立的最大正整数的值为_________．【答案】4【解析】【分析】求出等比数列的公比和首项，得出数列是等比数列，并求出其首项，公比和前项和，即可求出使不等式成立的最大正整数的值.【详解】由题意，，在等比数列中，，设公比为，∴，解得：，∴，∵，∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴，∴当时，，即，解得：，∴最大正整数的值为，故答案为：4.16.已知偶函数是在上连续的可导函数，当时，，则函数的零点个数为______．【答案】2【解析】【分析】由题意，方程等价于，令，，求导得函数的单调性，再结合奇偶性画出函数的大致图象，由图可得答案．【详解】解：显然不是的零点，∴方程等价于，令，，则，∴当时，，则在上单调递增，∵为偶函数，∴为奇函数，∴在上单调递增，由图象可知与有两个交点，故函数的零点个数为2，故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的零点个数问题，解题关键是将等价于，构造函数，，然后利用导数研究函数的单调性，画出大致图象，借助图象解出答案．本题考查了学生的转化与化归能力，考查了数形结合思想，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）求的最大值及相应的取值；（2）若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间.【答案】（1）时，取得最大值.（2）【解析】【分析】（1）化简函数，然后结合三角函数函数的性质判断函数最值；（2）根据“左加右减”平移函数图像，然后整体代入求解函数的单调递增区间；小问1详解】因为所以当，即时，取得最大值.【小问2详解】，由，得:，取得：在上的单调递增区间为18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求角；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平方关系可求得，，进而结合两角和的余弦公式即可求解；（2）根据正弦定理可得、的值，进而结合面积公式即可求解.【小问1详解】因为，所以，，又，所以，即，所以，所以，又，故.【小问2详解】由正弦定理得，即，所以，，所以的面积为.19.已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比中项及等差数列通项公式列方程得，由等差数列前n项和可得，进而求基本量，写出通项公式即可；（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求.【小问1详解】设数列的公差为d，由是与的等比中项，则，所以，且，整理得①，又，整理得②，由①②解得，，所以.【小问2详解】由（1）知，，则，所以两式相减得，所以.20.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数及利润函数的最大值；（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．【答案】（1）利润函数，最大值为（元）（2）当台时，每台产品的利润取到最大值1900元【解析】【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.【小问1详解】由题意知，，易得的对称轴为，所以当或时，取得最大值为（元）．所以利润函数，最大值为（元）；【小问2详解】依题意，得（元）.当且仅当时等号成立，即时，等号成立．所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．21.设函数，其中，曲线在点处的切线方程为.（1）确定，的值；（2）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据切线方程可知，进而求出（2）先设出切点，再写出切线的方程，利用切线过得到关于的方程，从而将切线的个数问题转化成有3个零点问题，从而得解【小问1详解】解：，【小问2详解】解：设切点为，则则切线方程为即：∵点在切线上，整理得：令则题目问题可转化为有3个不同零点即可令=0解得：或由得或，函数在或上递增由得，函数在上递减，，使得∴结合的单调性及图像（如下图）易知：只要即可即解得：所以的取值范围为【点睛】本题解题的关键是把切线个数问题转化为函数的零点个数问题，要熟悉三次函数的图像，结合图像即可解决问题．22.已知函数.（1）当时，证明：；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为3【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得，根据其正负即可得函数的单调区间,再根据最值证明即可；（2）构造函数在区间内恒成立，再求出的最大值为，结合函数单调性，即求得整数的最小值．【小问1详解】当时，，，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，所以，所以，而，所以.【小问2详解】令.则.当时，因，所以，所以在上单调递增，又因为.所以关于的不等式不能恒成立；当时，.令，得，所以当时，；当时，.因此函数在上单调递增，在上单调递减.故函数的最大值为.令，因为，又因为在上单调递减，所以当时，.所以整数的最小值为3.【点睛】方法点睛：根据不等式直接构造函数，分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围