数学试卷本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,则下图中阴影部分所表示的集合为()A.B.C.D.2.已知,则()A.10B.2C.D.43.已知,则()A.B.C.D.4.已知向量,则实数的值为()A.B.C.-1D.15.已知函数是幂函数,且在上单调递减,若,且,则的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断6.若命题“对任意的恒成立”为假命题,则的取值范围为()A.B.C.D.7.函数的大致图像是()A.B.C.D.8.将函数的图像向左平移个单位长度后,得到的图像关于轴对称,且函数在上单调递增,则的取值是()A.B.2C.D.1二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.设等差数列的前项和为,且,则下列结论正确的是()A.B.是等差数列C.D.对任意,都有10.设是定义在上的奇函数,且在上单调递减,,则()A.在上单调递增B.C.不等式的解集为D.的图像与轴只有3个交点11.已知函数若关于的方程有四个不等实根,则下列结论正确的是()A.B.C.D.的最小值为1012.如图,在中,,延长到点,使得,以为斜边向外作等腰直角三角形,则()A.B.C.面积的最大值为D.四边形面积的最大值为第II卷(非选择题共90分)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数是上的单调递增函数,则实数的取值范围是__________.14.已知函数,若,且,则的最小值为__________.15.已知,且,则的最小值是__________.16.已知函数的定义域均为为奇函数,为偶函数,,,则__________.四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知数列的前项和为,且(1)求;(2)若,求数列的前项和.18.(12分)已知,且的图像过点,又.(1)若成立,求的取值范围;(2)若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知向量,函数,函数的图像的一条对称轴是直线.(1)求的值;(2)若且,求的值.20.(12分)在锐角三角形中,内角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,求面积的取值范围.21.(12分)为了改善湖泊的水质,某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一批浮萍,这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快,2022年2月底测得浮萍覆盖面积为年3月底测得浮萍覆盖面积为,浮萍覆盖面积(单位:)与2022年的月份(单位:月)的关系有两个函数模型与可供选择.(1)分别求出两个函数模型的解析式;(2)若2021年年终测得浮萍覆盖面积为,从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型,试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过?(参考数据:)22.(12分)已知是等差数列,.(1)求的通项公式和;(2)已知为等比数列,对于任意,若,则.(i)当时,求证:;(ii)求的通项公式及其前项和.参考答案及解析一、选择题1.D2.C3.A4.B5.B6.A7.A8.B二、选择题9.ABD10.BCD11.AD12.ACD三、填空题13.14.815.3616.2023四、解答题17.解:(1)当时,,当时,,也适合上式.故.(2)由(1)可得,则.18.解:(1)因为在上单调递减,所以解得,所以的取值范围为.(2)因为,所以对于任意恒成立等价于,因为.令,则,所以,当,即,即时,,所以19.解:(1)由题意得因为函数的图像的一条对称轴是直线,所以,得,因为,所以.(2)由(1)可得,由,得,即.因为,则,所以20.解:(1)由已知条件得,由正弦定理得.,即.因为在中,,所以.又是锐角,所以.(2)由正弦定理得,则,所以.由,得,所以,所以面积的取值范围为.21.解:(1)若选择模型,则解得,故函数模型为.若选择模型,则解得,故函数模型为.(2)把代入,可得,把代入,可得,因为,所以选择模型更合适.令,可得,两边取对数,可得,所以13.3,故浮萍至少要到2023年2月覆盖面积能超过.22.(1)解:由题意可得解得,则数列的通项公式为.求和得.(2)(i)证明:由题意可知,当时,,取,则,即,当时,,取,此时,可得.综上,.(ii)解:由题意得是的正项等比数列,设的通项公式且,由(i)知,即,则.①当,即时,存在,使得2,与矛盾;②当,即且时,存在,使得,与矛盾,所以,所以.因为,即,所以,所以,故,所以的前项和为.
河北省邢台市部分高中2023-2024学年高三上学期期中联考数学试题
2023-11-25
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