江西省南昌市三校（南昌市第一中学、南昌市铁路第一中学、南昌市第十中学）2023-2024学年高三上学

南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考数学试卷试卷总分：150分 考试时长：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则等于（）A.0 B. C.1 D.2.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.3.设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A.3 B.4 C.5 D.64.如图所示，矩形的对角线相交于点O，E为的中点，若则等于（）A. B. C.1 D.-15.已知是等比数列，，前项和为，则“”是“为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.，，的大小关系是（）A. B.C. D.7.在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数、、，……的图形，此图形中的余弦值是（）A. B. C. D.8.已知函数，则函数图象与两坐标轴围成图形的面积是（）A.4 B. C.6 D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设向量，，则（）A. B. C. D.10.已知命题：，，则“命题为真命题”的一个充分条件是（）A. B. C. D.11.已知函数的部分图象如图，则下列判断正确的有（）A.函数的周期为B.对任意的，都有C.函数在区间上恰好有三个零点D.函数是奇函数12.已知数列的通项公式是，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，，，使，，，，成等差数列.这样得到新数列：，，，，，，，，，，.记数列的前项和为，有下列选择支中，判断正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.14.设向量，向量，且，则等于__________.15.如图：直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为2，4，过点且夹角为的两条射线分别与，相交于B，C两点，则面积的最小值是__________.16.若存在单调递减区间，则正数的取值范围是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图数表中，第行中，第个数为，共有个数.（1）求第行所有数的和；（2）求前10行所有数的和.第1行 1第2行 1第3行 ，，，1 …………第行 ，，，…，118.（本小题满分12分）已知点是的外接圆的圆心，，，.（1）求外接圆的面积；（2）求.19.（本小题满分12分）已知向量，，函数的最小正周期为.（1）求实数的值；（2）已知，，，，求.20.（本小题满分12分）如图，已知菱形中，，，点为边的中点，沿将折起，得到且二面角的大小为，点在棱上，平面.（1）求；（2）求二面角的余弦值.21.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，即某队先赢得3局比赛，则比赛结束且该队获胜，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次目上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）（1）若求甲队明星队员M在前三局比赛中出场，记前三局比赛中，甲队获胜局数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；（2）若已知甲乙两队比赛3局，甲队以获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.22.已知函数，（，是自然对数的底数）.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.南昌市三校（一中、十中、铁一中）高三上学期第一次联考数学试卷参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】，所以.2.【答案】B解析：由，得到，即，由即，则.3.【答案】C【解析】，故公差.答案：C.4.【答案】A【解析】.，，.5.【答案】B【解析】因为是等比数列，，所以或，为递增数列，所以是必要不充分条件.6.【答案】B【解析】，，，，所以.7.【答案】D【解析】在中，，在中，.8.【答案】A【解析】因此函数的图象关于点成中心对称，，，函数在区间上单调递减，因此与坐标轴围成图形的面积是.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ACD【解析】因为，所以A正确，B不正确；，所以，C正确；，所以，D正确.10.【答案】AD11.【答案】BCD【解析】由对称性知道，，因此，A不正确；，又，结合图象，可以取，即，因此，因此B正确；当时，，有三个零点，因此C正确；是奇函数，因此D正确.12.【答案】ABD【解析】A.；B.在数列中是第项，所以；C.；D..三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】，故答案为：.14.【答案】【解析】因为，则，即，则.15.【答案】【解析】设与垂线的夹角为，则，，所以面积，所以当，即当时，面积最小，最小值是.16.【答案】【解析】依题意有解，即，即，即有解，构造函数，单调递增，因此不等式转化为，即有解，记，，从而求得，因此.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）第行所有数的和为；（2）前10行所有数的和为，即.18.【解析】（1）由余弦定理得：.所以，因此，所以外接圆的面积为；（2）设的中点为，则，所以.19.【解析】（1），所以；（2）又，所以，，又，所以，所以.20.【解析】（1）连接，设，连接，因为平面，所以，得到，又菱形中，，所以，所以；（2）因为，，所以，，因此是二面角的平面角，，如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系.依据题意，，，，从而，，设平面的法向量，由得到，由得到，令，，，设平面的法向量，由得到，由得到，令，，，因此，所以，所求二面角的余弦值是.21.【解析】（1）Y可能取值有0，1，2，3.，，，，因此，随机变量X的分布列是X0123P数学期望；（2）设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，为前3局甲队明星队员没有上场比赛，因为每名队员上场顺序随机，，，，，甲队明星队员上场的概率.22.【解析】（1），当时，，函数在上递减；当时，由，解得，故函数在上单调递减，由，解得，故函数在上单调递增.综上所述，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增.（2）当时，，即，故，令，则，若，则当时，，函数在上单调递增，当时，，当时，单调递增，则，符合题意；若，则，，由得，故，存在，使得，且当时，，在上单调递减，当时，，不合题意，综上，实数的取值范围为.